Algebraisk kurve

Den algebraiske kurven y² = x³ + 3x² med et singulært dobbeltpunkt i origo.

En algebraisk kurve er definert som en spesiell klasse kurver som er gitt ved løsningen av en polynomligning med to variable. Mer formelt kan den sies å være en endimensjonal, matematisk varietet.

Det enkleste eksempel på en algebraisk kurve er en rett linje gjennom origo. Den er gitt ved ligningen y - ax = 0 hvor a er stigningstallet. Tilsvarende beskriver ligningen x² + y² - a² = 0 en sirkel med sentrum i origo og radius lik med a. Andre kjeglesnitt som parabel og hyperbel er også beskrevet ved løsning av slike andregradsligninger.

Generelt er en algebraisk kurve gitt ved ligningen F(x,y ) = 0 hvor polynomet

$F(x,y)=a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)$

har koeffisientene a_k(x) som igjen er polynom i den variable x. Løsningen av denne polynomligningen kalles for en algebraisk funksjon. Niels Henrik Abel viste at disse kun kunne finnes ved rottagninger for n < 5. For andre verdier er løsningen y = f(x) bare gitt som en implisitt funksjon via den gitte polynomligningen. Når x er et reelt tall, er dette ligningen for kurven i det affine planet. I alminnelighet kan den skjære seg selv en eller flere ganger. Dette er spesielle punkt på kurven som kalles dens singulariteter.

Ved å betrakte slike polynom med variable som tilhører andre tallkropper enn de reelle tallene, fremkommer mer abstrakte, algebraiske kurver. Dette kan skje for eksempel ved bruk av rasjonale tall eller endelige tallkropper. Ved en utvidelse av de reelle tallene til komplekse tall, vil algebraens fundamentalteorem bety at polynomligningen alltid kan løses og uttrykkes ved dens røtter eller nullpunkt. De geometriske egenskapene til kurvene kommer dermed til uttrykk på nye måter ved at koblingen mellom algebra og geometri blir tettere.

Med en slik generalisering vil en linje alltid skjære en sirkel i to punkt. Går den gjennom sirkelen, er skjæringspunktene reelle. Når linjen ligger utenfor, vil skjæringspunktene være komplekse. På samme måte vil en algebraisk kurve y = f(x) hvor begge koordinatene er komplekse, da ha to reelle dimensjoner og derfor i alminnelighet beskrive en 2-dimensjonal flate i et rom med fire reelle dimensjoner. Det kan vises at dette er en Riemann-flate.

Forståelsen av algebraiske kurver kan også utvides ved å betrakte dens koordinater (x,y) ikke i det affine planet, men som den endelige delen av et projektivt plan med koordinater (X,Y,Z ) slik at x = X/Z og y = Y/Z. De endelige punktene vil da ha Z = 1, mens punkt på kurven i det uendelige vil ligge på linjen Z = 0. På denne måten kan de behandles på like fot med alle andre punkt.

Algebraiske kurver utgjør en viktig del av algebraisk geometri. Den spesielle klassen som kalles elliptiske kurver spiller i dag en praktisk rolle ved kryptering av elektronisk kommunikasjon.

Matematiske egenskaper

Den kubiske kurven y² – x³ = 0 har en singulær spiss i origo x = 0.

Polynomet som definerer kurven, er en sum av monomer av formen y^kx^m. Hvert slikt monom sies å ha en grad som er lik med summen k + m. Graden til hele polynomet er definert som graden til det monomet som har den høyeste graden. Denne definisjonen er i overstemmelse med at ligningen til en rett linje har grad 1, mens kjeglesnittene er kurver av andre grad. Desto høyere graden til kurven er, desto mer komplisert og innholdsrik er den. Dette blir klart allerede ved betraktning av «kubiske kurver», det vil si beskrevet ved polynom av tredje grad.

Hvordan kurven y = f(x) forandrer seg fra sted til sted er gitt den deriverte y' = dy/dx. Selv om funksjonen ikke er kjent på eksplisitt form, kan likevel denne finnes ved derivasjon av polynomligningen F(x,y ) = 0. Det gir F_xdx + F_ydy = 0  hvor F_x = ∂F/∂x og F_y = ∂F/∂y er de partiellderiverte av F. Herav følger at dy/dx = - F_x/F_y  som er stigningstallet for tangenten til kurven i hvert punkt. I et punkt på kurven hvor tangenten skifter retning, er den andre deriverte d²y/dx² = 0 og kalles for et vendepunkt.

Singulære punkt

Der minst en partiellderiverte F_x eller F_y er forskjellig fra null for punkt på kurven, sies den å være glatt. Det er i overensstemmelse med den vanlige oppfatningen av at kjeglesnittene er glatte kurver.

Er begge disse deriverte lik med null, sies dette å være et singulært punkt på kurven. Da er verdien til stigningstallet dy/dx = 0/0 ubestemt. Det betyr at i et singulært punktet eksisterer det to eller flere tangenter, noe som skyldes at kurven skjærer seg selv i punktet. Desto flere tangenter der er i punktet, desto mer singlært er det. Den enkleste singulariteten er et dobbeltpunkt hvor kurven har to tangenter.

I det spesielle tilfellet at de to tangentene faller sammen, er det en mer komplisert singularitet som kalles en spiss eller «cusp» på engelsk. Egenskapene til denne singulariteten er inneholdt i verdiene til de andrederiverte av polynomet F(x,y) i dette punktet.

Genus

Det maksimale antall skjæringspunkt kurven kan ha med en rett linje, er gitt ved dens grad d. Mer vanskelig er det å vise at det maksimale antall dobbeltpunkt en kurve kan ha, er lik med (d - 1)(d - 2)/2. En viktig karakteristisikk av kurven er differensen mellom dette maksimale antallet og det aktuelle antallet δ  dobbeltpunkt. Dette tallet

$g={1 \over 2}(d-1)(d-2)-\delta$

blir omtalt som kurvens genus eller defekt. Da alle kjeglesnitt er glatte kurver av andre grad, har de genus g = 0.

En kubisk kurve d = 3 uten dobbeltpunkt har genus g = 1 og kalles en elliptisk kurve. Et eksempel på dette er kurven defininert ved ligningen y² = x³ + 3x. Denne elliptiske kurven ser ganske annerledes ut enn en ellipse. Navnet kommer fra at den er definert ved en algebraisk funksjon som gir opphav til elliptiske integral. Derimot har den kubiske kurven y² = x³ + 3x² et dobbeltpunkt i origo slik at dens genus g = 0.

Har kurvene andre singulariteter enn dobbeltpunkt, vil disse også redusere genus på tilsvarende vis fra den maksimale verdien.

Parametrisering

Mange kurver har en parameterfremstilling x = φ(t ), y = ψ(t ) hvor t er en reell parameter. I et singulært punkt på kurven vil da begge deriverte φ'(t ) og ψ'(t ) være null. Kurven er glatt så lenge de andrederiverte av disse funksjonene er kontinuerlige.

Sirkelen kan parametriseres ved vinkelen θ til et punkt på den. Har den radius en, er hvert punkt på den gitt ved x = cos θ og y = sin θ. Denne parameterfremstillingen oppfyller sirkelens ligning x² + y² = 1. En alternative parametrisering er

$x={1-t^{2} \over 1+t^{2}},\;\;y={2t \over 1+t^{2}}$

hvor t varierer over alle reelle tall. Denne parametriseringen kan finnes ved å velge et punkt på sirkelen og la en rette linje med et stigningstall t gå igjennom dette. Den skjærer da sirkelen i et annet punkt hvis koordinater kan finnes ved å løse en førstegradsligning. Resultatet vil avhenge av valget man gjøre for det faste punktet på sirkelen man lar linjen gå gjennom.

Når parameterfremstillingen slik som her er gitt ved en rasjonal funksjon, sies kurven å være unikursal. Det kan vises at alle kurver med genus g = 0 er unikursale. Det gjelder derfor for alle kjeglesnitt. For eksempel, hyperbelen x² - y² = 1 kan parametriseres som x = 1/cos θ, y = tan θ. Ved å bruke de ovenstående uttrykkene for sin θ og cos θ, har man da følgende parameterfremstilling av hyperbelen

$x={1+t^{2} \over 1-t^{2}},\;\;y={2t \over 1-t^{2}}$.

Dette tilsvarer den mer vanlige parametriseringen x = cosh u og y = sinh u ved hyperbolske funksjoner som oppfyller cosh²u - sinh²u = 1.

Da den kubiske kurven y² = x³ + 3x² har genus g = 0, er den unikursal. Det bekreftes ved at den kan parametriseres ved polynomene

$x=t^{2}-3,\;\;\;y=t(t^{2}-3)$

Den skjærer x-aksen for t = 0 i punktet (-3,0). Dobbeltpunktet i origo har parameterverdien t = ± √3. Kurven ligger over x-aksen for postive verdier av parameteren og under når den er negativ.

Derimot har den elliptiske kurven y² = x³ + 3x  genus g = 1 og kan derfor ikke parametriseres ved rasjonale funksjoner. Men det lar seg gjøre ved bruk av elliptiske funksjoner. Dette er analogt med at kjeglesnitt lar seg parametrisere med trigonometriske funksjoner som også er transcendente.

Projektiv beskrivelse

I et affint plan vil to linjer skjære hverandre hvis de ikke er parallelle. Utvides planet til et projektivt plan, vil alle linjer skjære hverandre. De som ser ut til å være parallelle, vil skjære hverandre i det uendelige i et såkalt ideelt punkt. Disse nye punktene i planet ligger på en ideell linje i det uendelige. Enhver linje vil skjære denne i et punkt. Dette illustrerer hvordan det projektive planet kan benyttes til å gi en beskrivelse av hva som skjer med kurver i det uendelige som vi ellers ikke uten videre har tilgang til.

En linje vil alltid skjære en sirkel i to punkt når man benytter komplekse koordinater i det affine planet. Det er nødvendig når linjen ligger utenfor sirkelen. Med slike koordinater vil derfor også to sirkler sies alltid å skjære hverandre i to punkt. Disse vil da ha komplekse koordinater når sirklene ligger utenfor hverandre. Derimot vil to ellipser alltid skjære hverandre i fire punkt. Disse kan være fire reelle punkt, to reelle og to komplekse eller fire komplekse avhengig av hvordan ellipsene ligger i forhold til hverandre.

Denne forskjellen mellom sirkler og ellipser oppheves i det projektive planet. Der vil også to sirkler alltid skjære hverandre i fire punkt. Grunnen er at alle sirkler går gjennom to spesielle, såkalte sirkulære punkt i det uendelige. Det kan man se fra ligningen (x - a)² + (y - b)² = r²  for en sirkel med origo i (a,b) og radius r ved å skrive den med projektive koordinater x = X/Z  og y = Y/Z. Man finner da den nye formen

$(X-aZ)^{2}+(Y-bZ)^{2}=r^{2}Z^{2}$

Siden den ideelle linjen i det uendelige har ligningen Z = 0, vil sirkelen skjære denne i to punkt gitt ved X² + Y² = 0. Løsningene av denne kan skrives som X = 1, Y = ± i  hvor den imaginære enhet i = √(-1). De to sirkulære punktene har derfor de homogene koordinatene (1, ± i, 0). Alle kjeglesnitt vil på denne måten skjære hverandre i fire punkt.

Med denne utvidelse av den matematiske beskrivelsen kommer man frem til at to algebraiske kurver med gradene d₁ og d₂ alltid vil skjære hverandre nøyaktig i d₁⋅d₂  punkt. Dette resultatet kan generelt bevises og går under navnet Bézouts teorem.

Lemniskaten

Denne komplekse utvidelsen i det projektive planet er også av stor nytte i beskrivelsen av andre kurver. For eksempel, lemniskaten er beskrevet ved ligningen (x² + y²)² = x² - y² som har grad d = 4. Da den ser ut til å ha kun et dobbeltpunkt i origo, skulle det tilsi at den har genus g = 2. Men da det er kjent at den har en rasjonal parameterfremstilling, må den ha genus g = 0. Grunnen er at den har to ekstra dobbeltpunkt som er de sirkulære punktene (1, ± i, 0) i det projektive planet. Lemniskaten er derfor unikursal.

Eksterne lenker

• Encyclopædia Britannica, Curve, 11th Edition, Cambridge (1911). Online.
• Encyclopedia of Mathematics, Algebraic curve.
• W. Fulton, Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry, University of Michigan online textbook.
• A. Sutherland, Elliptic Curves, Lecture 1, forelesningsserie ved MIT (2015).
• T.K. Moen, Algebraisk geometri og rasjonale cuspidale plane kurver, orientering for nye studenter ved UiO (2010).