Riemann-flate

En kuleflate med tre håndtak er en kompakt Riemann-flate med genus g = 3.

Riemann-flate er en todimensjonal flate som lokalt rundt hvert punkt kan avbildes på det komplekse planet. Over større områder kan den likevel ha en komplisert topologi. Utfra denne definisjonen kan en slik reell flate også betegnes som en endimensjonal, kompleks mangfoldighet. Formelt eksisterer den derfor bare i et firedimensjonalt rom og kan derfor være vanskelig å visualisere i tre dimensjoner.

Noen kjente eksempel på Riemann-flater er overflaten til en sylinder, kuleflaten og torusen. Mens sylinderflaten er begrenset av to sirkler, har de to siste ingen slike grenser. De sies å være kompakte og er av størst interesse. Hver kompakt Riemann-flate har et genus g og er topologisk ekvivalent med en kuleflate med g håndtak. Torusen har g = 1 da hullet i den utgjør et slikt håndtak.

På grunn av sin komplekse struktur er Riemann-flater matematisk sett spesielt attraktive. En vanlig, orienterbar flate som er utstyrt med en metrikk, kan beskrives på denne måten. Det kan derimot ikke det projektive planet og Möbius-båndet som begge er ikke-orienterbare.

Bernhard Riemann oppdaget på midten av 1800-tallet at det var hensiktsmessig å betrakte slike flater i forbindelse med linjeintegral av funksjoner med flertydige verdier. Et eksempel er kvadratroten √z av et komplekst tall z. Denne kan anta to forskjellige verdier når man flytter seg rundt punktet z = 0. Av den grunn tenkte Riemann seg to komplekse plan over hverandre for hver av disse verdiene. Når disse to planene forbindes kontinuerlig med hverandre, vil de måtte skjære hverandre når man betrakter dem i tre dimensjoner. Men har i fire dimensjoner utgjør de topologisk en lukket flate som tilsvarer kuleflaten.

Denne betraktningsmåten gjør det mulig å definere komplekse funksjoner på mer generelle flater enn det komplekse planet. Det er grunnen til at Riemann-flater er av viktige ikke bare i algebraisk geometri, men også i kompleks analyse.

Når man ser bort fra deres komplekse egenskaper, reduserer Riemann-flatene seg til relle kurver. For genus g = 1 fremkommer på den måten en elliptisk kurve. De er av stor interesse i dag innen tallteori og moderne kryptografi.