Sfærisk geometri

Sfærisk geometri (også kalt kulegeometri) beskriver geometriske forhold mellom punkter og linjer på en kuleflate (sfære). Den ble opprinnelige utviklet i antikken for å beskrive observasjoner på himmelhvelvingen og etterhvert anvendt for navigasjon på jordoverflaten. I dag er den et eksempel på en ikke-euklidsk geometri da parallellaksiomet ikke er oppfylt.

På samme måte som i den vanlige plangeometrien er linjer i sfærisk geometri definert ved at de forbinder to punkt langs en vei som gir den korteste avstand mellom punktene. De er derfor geodetiske kurver på kuleflaten og kan identifiseres med dens storsirkler. Vinkelen mellom to slike linjer er definert i deres skjæringspunkt. Lengden av et linjestykke som forbinder to punkt, er gitt ved den brøkdelen det utgjør av en hel storsirkel. Når vinkler måles i radianer, har den per definisjon lengden 2π .

Da to storsirkler skjærer hverandre i to diametralt motsatte punkt eller antipoder, vil de avgrense kuleflaten i to mindre deler. Den minste omtales vanligvis som en sfærisk tokant. Den har to sider og to hjørner og er den enkleste figuren i sfærisk geometri. Mer interessant og viktigere er den sfæriske trekanten som er avgrenset av tre storsirkler og derfor har tre hjørner. Mens summen av vinklene til en plan trekant er π , er den tilsvarende summen av vinklene i en sfærisk trekant alltid større enn dette. Dette er et annet uttrykk for at geometrien er ikke-euklidsk.

Sammenhengen mellom sidene og vinklene i sfærisk geometri omhandles i sfærisk trigonometri. I motsetning til den vanlige trigonometrien inneholder den et stort antall forskjellige relasjoner mellom disse størrelsene. For sfæriske trekanter med minst en rett vinkel forenkles dette noe slik at disse trekantene har en spesiell plass i denne trigonometrien.

Sfærisk geometri er den enkleste formen for elliptisk geometri hvor en linje ikke har noen paralleller gjennom et punkt utenfor linjen. Da to linjer alltid skjærer hverandre i to motsatte punkt, kalles også sfærisk geometri for dobbeltelliptisk geometri. Man kan identifisere to slike motpoler med hverandre slik at to storsirkler bare skjærer hverandre i ett punkt. Dette vil da være enkeltelliptisk geometri, men den kan man ikke så lett skaffe seg et mentalt bilde av. Derimot beskrives den elegant som et projektivt plan ved analytiske metoder.

Kuleflaten er todimensjonal og har en konstant krumning. Sfærisk geometri kan utvides til rom med høyere dimensjoner og konstant krumning på samme måte som for elliptiske geometrier i høyere dimensjoner. Disse geometriene vil da kunne behandles som spesielle tilfeller av mer generelle Riemann-geometrier.

Grunnleggende egenskaper

Alle praktiske anvendelser av sfærisk geometri er på en todimensjonal kuleflate eller sfære. To punkter kan forbindes med et linjestykke som er en del av en storsirkel. Da dette kan gjøres på to forskjellige måter, velger man vanligvis den korteste forbindelseslinjen. Denne konvensjonen går tilbake til Euler.^[1]

Tre punkter A, B og C definerer en sfærisk trekant. Dette er det grunnleggende, geometriske objektet på kuleflaten. Det er vanlig å betegne de motstående sidene i trekanten med de tilsvarende små bokstaver slik at a er motsatt til hjørnet A, b er motsatt til B og samme for siden c. Lengden av sidene angis i buelengder som måles i radianer eller grader. Da buelengden til en full storsirkel er 2π eller 360°, er sidene i en trekant mindre enn π eller 180°. Har kulen en radius R, er den fysiske lengden av side a derfor aR når man benytter radianer.

Likedan angis vinklene mellom linjene som møtes i hvert hjørne, med små, greske bokstaver. Vinkelen i hjørnet A er derfor α, mens de i B og C er henholdsvis β og γ. Disse vinklene bestemmer arealet av trekanten. Ved å benytte egenskaper til den duale eller polare trekanten, finner man at det er gitt som

S=(\alpha +\beta +\gamma -\pi )R^{2}

Da dette alltid må være positivt, må summen α + β + γ > π eller 180°. I vanlig euklidsk plangeometri er den alltid 180° slik at bare to av vinklene kan fritt velges. Desto mindre arealet er, desto nærmere blir vinkelsummen 180° eller π fordi trekanten da nesten er euklidsk. Den maksimale vinkelsummen er 3π som tilsvarer arealet til den halve sfæren.

Sinussetningen

I omtrent tusen år frem til år 1000 e. Kr. tok de fleste beregninger i sfærisk geometri utgangspunkt i Menelaos' teorem. Fra da av ble det gradvis erstattet av den sfæriske sinussetningen som er enklere å benytte i praksis.^[2] Den har samme form som den tilsvarende setningen i euklidsk geometri og kan skrives som

{\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \beta }{\sin b}}={\frac {\sin \gamma }{\sin c}}

Lengden til for eksempel sidekanten som har buelengde a, er gitt som a_L = aR der R er radius til sfæren og likedan for de andre sidene. Hvis nå disse tre lengdene alle er mye mindre enn R, kan man tilnærmet skrive sina = sin(a_L/R) = a_L/R og så videre. Setningen tar da formen

{\frac {\sin \alpha }{a_{L}}}={\frac {\sin \beta }{b_{L}}}={\frac {\sin \gamma }{c_{L}}}

som er den vanlige, euklidske sinussetningen. I dette tilfellet er summen de tre vinklene nøyaktig lik med 180°.

Cosinussetningen

Når to sider og vinkelen mellom dem er gitt, kan man i euklidsk geometri beregne den motsatte sidekanten ved hjelp av cosinussetningen. I sfærisk trigonometri kan den analoge setningen utledes. For hjørnet C hvor sidene a og b møtes med vinkel γ, er den

\cos c=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma

Tilsvarende uttrykk finnes for de to andre hjørnene.

Den euklidske grensen R → ∞ av denne setningen kan igjen utledes ved å skrive sina = a_L/R slik at cosa = 1 - (1/2)(a_L/R)² og tilsvarende for de to andre sidene. Det sfæriske uttrykket går da over til

c_{L}^{2}=a_{L}^{2}+b_{L}^{2}-2a_{L}b_{L}\cos \gamma

som er den vanlige cosinussetningen.

I det spesielle tilfellet at vinkelen γ = 90°, er den sfæriske trekanten rettvinklet. Setningen tar da formen

\cos c=\cos a\cdot \cos b

som er den sfæriske utgaven av Pythagoras' læresetning.^[1]

Eksempel

I en populær bok om sfærisk geometri er det gitt som eksempel en beregning av den korteste avstanden mellom en by Q i Irland og Y i New York som dampskipene i White Star Line fulgte over Atlanterhavet i forrige århundre.^[2] Utgangspunkt Q har koordinater 51.78° nordlig bredde og 8.18° vestlig lengde, mens ankomststedet Y ligger på 40.47° nordlig bredde og 74.13° vest. Ved å forbinde disse to punktene på sfæren med Nordpolen N, har man en sfærisk trekant NQY. Lengden av siden NQ = 90° - 51.78° = 38.22°, mens siden NY = 90° - 40.47° = 49.53°. Vinkelen mellom disse to sidene er gitt ved differensen φ = 74.13° - 8.18° = 65.95° mellom de to lengdegradene.

Den sfæriske cosinussetningen sier nå at siden QY har en buelengde gitt ved

\cos QY=\cos NQ\cdot \cos NY+\sin NQ\cdot \sin NY\cdot \cos \phi

Utregnet gir dette QY = 45.43°. Da hvert bueminutt langs en storsirkel er definert som en nautisk mil, tilsvarer denne buelengden en avstand 60×45.43 = 2726 nautiske mil. I virkeligheten varierte overfartene til dampskipene mellom 2783 og 2889 nautiske mil som viser at de ikke seilte helt nøyaktig langs en storsirkl.

Rette trekanter

En vilkårlig, sfærisk trekant kan deles opp i to mindre trekanter hvor vinkelen i et hjørne eller en sidekant er 90°. Slike spesielle trekanter sies å være henholdsvis rettvinklet eller rettsidet. Deres trigonometri er enklere og kan sammenfattes i et stort antall forskjellige, men kompakte formler som egner seg for numeriske beregninger. Da det er vanlig å plassere den rette vinkelen i hjørne C, er den sfæriske Pythagoras-setningen cosc = cosa⋅cosb et typisk eksempel.

Når vinkelen i hjørne C er γ = 90°, så har man to frie vinkler α og β sammen med tre sidekanter a, b og c. Velger man tre av disse fem størrelsene, vil de da tilfredstille ti relasjoner. De er

{\begin{alignedat}{4}&{\text{1)}}&\qquad \cos c&=\cos a\cdot \cos b&\qquad \qquad &{\text{6)}}&\qquad \tan b&=\cos \alpha \cdot \tan c\\&{\text{2)}}&\sin a&=\sin \alpha \cdot \sin c&&{\text{7)}}&\tan a&=\cos \beta \cdot \tan c\\&{\text{3)}}&\sin b&=\sin \beta \cdot \sin c&&{\text{8)}}&\cos \alpha &=\sin \beta \cdot \cos a\\&{\text{4)}}&\tan a&=\tan \alpha \cdot \sin b&&{\text{9)}}&\cos \beta &=\sin \alpha \cdot \cos b\\&{\text{5)}}&\tan b&=\tan \beta \cdot \sin a&&{\text{10)}}&\cos c&=\cot \alpha \cdot \cot \beta \end{alignedat}}

Mange av disse var kjent fra tidlig av, men ble systematisert av John Napier på 1600-tallet. Han utviklet også enkle huskeregler som forbandt dem. Ved å betrakte den tilsvarende, polare trekanten, kan man oppstille ti lignende, duale relasjoner.^[1]

Historie

Sfærisk geometri ble studert av tidlige, greske astronomer. De første trigonometriske betraktninger ble innført av Hipparkhos som baserte disse på kordene i sirkler i stedet for sinus til de tilsvarende buelengdene. Med dette grunnlaget skrev Menelaos fra Alexandria et viktig arbeid Sphaerica om sfærisk trigonometri. Her ble også Menelaos' teorem vist å være gyldig på en kuleflate, muligens etter at det tidligere var utviklet i den euklidske plangeometrien. Noen få år senere omtrent 150 e. Kr. ble denne matematikken systematisk benyttet av Ptolemaios i hans store verk Almagest. I de nesten tusen følgende år vil dette bli stående som standardreferansen til sfærisk geometri.^[3]

Da gresk vitenskap langsomt gikk under etter 300 e. Kr., ble denne kunnskapen om sfærisk geometri etterhvert overtatt av muslimske lærde. Den ble benyttet i astronomisk sammenheng i forbindelse med å kunne finne retningen til Mekka på forskjellige steder og fastsettelse av tidspunkt for mange religiøse gjøremål. Behovet for denne innsikten var her større enn blandt kristne som primært benyttet astronomiske fenomen til bestemmelse av påskehøytidligheten.

Kjennskap til indisk matematikk gjorde den matematiske fremstillingen enklere ved at de greske kordene ble erstattet med den moderne sinusfunksjonen. En de første som tok denne i bruk, var Al-Battani på 900-tallet og hundre år senere Al-Biruni i hans bok Nøkler til Astronomien. Mens denne utviklingen foregikk i de østlige deler av Middelhavet, skrev Al-Jayyani i Cordoba omtrent på samme tid en bok om Lengden av buer på en sfære. Den inneholdt det meste av den nyeste utviklingen. Knapt to hundre år senere ble alt dette sammenfattet av Al-Tusi i ett verk som i stor grad dannet grunnlaget for den videre, europeiske utvikling av sfærisk trigonometri.^[4]

Rundt 1460 skrev Regiomontanus sitt verk Om trekanter som er det første, rent trigonometriske arbeidet i Europa og fikk stor betydning. Århundret senere la imidlertid Gerolamo Cardano merke til at mye av innholdet om sfærisk trigonometri var tatt fra arbeidet til en spansk muslim som hadde levd et par hundre år tidligere. På begynnelsen av 1600-tallet bidro John Napier med nye formler for denne geometrien og oppfant logaritmer som forenklet i stor grad beregningen av rette trekanter. På 1700-tallet sammenfattet Leonhard Euler sfæriske trigonometri i det formelapparat som i stor grad er det samme som benyttes i dag.^[1]

Se også

Referanser

^ ^a ^b ^c ^d I. Todhunter, Spherical Geometry, MacMillan and Co., London (1863). Google Book.
^ ^a ^b G. van Brummelen, Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry, Princeton University Press, New Jersey (2013). ISBN 978-0-691-14892-2.
^ D.E. Smith, History of Mathematics, Volume I, Dover Publications, New York (1958).
^ G. van Brummelen, History of Trigonometry to 1550, in History of Mathematics, eds. V. Lundsgaard Hansen and J. Gray, EOLSS Publishers, Singapore (2010). ISBN 978-1-84826-221-8.

Eksterne lenker

(en) Spherical geometry – kategori av bilder, video eller lyd på Commons
Sfærisk geometri på UNCC (engelsk)
Kuleoverflatens geometri på Rice University Arkivert 21. juni 2011 hos Wayback Machine. Rice University (engelsk)
MacTutor, Menelaus of Alexandria, University of St. Andrews.
Navigasjonsregneark: Navigasjonstrekanter med illustrasjoner (engelsk)

[Todhunter-1] I. Todhunter, Spherical Geometry, MacMillan and Co., London (1863). Google Book.

[Brummelen-1-2] G. van Brummelen, Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry, Princeton University Press, New Jersey (2013). ISBN 978-0-691-14892-2.

[Smith-1-3] D.E. Smith, History of Mathematics, Volume I, Dover Publications, New York (1958).

[Brummelen-2-4] G. van Brummelen, History of Trigonometry to 1550, in History of Mathematics, eds. V. Lundsgaard Hansen and J. Gray, EOLSS Publishers, Singapore (2010). ISBN 978-1-84826-221-8.

[1]

[2]

[3]

[4]