Ikke-euklidsk geometri

Atferd hos linjer med felles ortogonal linje i hver av de tre geometritypene.

I ikke-euklidsk geometri gjelder ikke Euklids femte aksiom, det såkalte parallellaksiomet (velger man å godta parallellaksiomet får man euklidsk geometri). Betegnelsen brukes generelt om geometri som bygger på andre aksiomer enn den euklidske.

Mer spesielt brukes betegnelsen om de geometrier hvor parallellaksiomet i den euklidske geometri er erstattet med et annet aksiom (som ikke står i strid med de øvrige euklidske aksiomer). Av disse ikke-euklidske geometrier finnes det to hovedtyper. I hyperbolsk geometri kan det gjennom hvert punkt utenfor en rett linje trekkes uendelig mange linjer som ikke skjærer den gitte linjen. Disse kan da i utgangspunktet alle sies å være parallelle linjer. Men nærmere betraktninger viser at det finnes to grenseparalleller som skiller de linjene som ikke skjærer den gitte linjen, fra dem som skjærer den. Det viser seg da hensiktsmessig å kalle disse to grenseparallellene for de ekte parallellene. Man sier derfor at i det hyperbolske planet kan det trekkes to parallelle linjer gjennom et punkt utenfor en gitt linje. Denne ikke-euklidske geometrien ble funnet av Gauss, Bolyai og Lobatjevskij på midten av 1800-tallet. Summen av vinklene i en trekant er mindre en 180° i denne geometrien.

Den andre hovedtypen er elliptisk geometri hvor det ikke finnes parallelle linjer i det hele tatt. Alle linjer skjærer hverandre i et punkt. Dette er en mer kompakt utgave av vanlig sfærisk geometri som man har på en kuleflate. Linjer i denne geometrien er storsirkler som alle skjærer hverandre. Summen av vinklene i en sfærisk trekant er større en 180°.

Forskjellene mellom disse geometritypene kan også beskrives på en annen måte ved å betrakte de to linjene i et plan som begge står vinkelrett på en tredje linje. I euklidsk geometri er da de to linjene parallelle med en fast avstand seg imellom. Derimot i hyperbolsk geometri "bøyer de av" fra hverandre med økende avstand i takt med at avstanden fra skjæringspunktet med den felles vinkelrette linjen øker. Disse linjene vil ikke skjære hverandre, men er heller ikke grenseparalleller. I stedet sies de å være ultraparallelle eller hyperparallelle. I elliptisk geometri vil to slike linjer "bøyes" mot hverandre og til slutt skjære hverandre. Det skyldes igjen at det ikke eksisterer parallelle linjer i elliptisk geometri.

I den euklidske geometri (av og til kalt parabolsk geometri) finnes det alltid én, og bare én, parallell. De ikke-euklidske geometriene representerer en viktig milepæl i matematikkens historie, idet de illustrerer at det finnes logisk konsistente geometriske systemer som tilsynelatende står i strid med de geometriske forestillinger vi får gjennom sanseerfaringer.

Historie

Mens euklidsk geometri (fått sitt navn etter den greske matematikeren Euklid) inkluderer noen av de eldste kjente matematiske teoremene, så drøyde det frem til 1800-tallet da den ikke-euklidske geometriens legitimitet ble allment akseptert. Debatten som til slutt ledet frem til oppdagelsen av ikke-euklidske geometrier begynte nesten så snart Euklids verk Elementer var klart. I Elementer forsøker Euklid å etablere et fullstendig logisk grunnlag for matematikken han presenterer. Hans arbeid begynte med et begrenset antall antagelser (kalt aksiom og postulat) og han forsøkte å bevise alle andre resultater (teoremer) i sitt arbeid. Det mest velkjente postulatet kalles ofte Euklids femte postulat, eller simpelthen "parallellpostulatet", som i hans originalformulering er:

Om en rett linje skjærer to rette linjer på en slik måte at de indre vinklene på samme side tilsammen er mindre enn to rette vinkler, så møtes de rette linjene, om de forlenges i uendelighet, på den siden der vinklene er mindre enn en de to rette vinklene.
Euklid av Alexandria

Enklere formuleringer av dette postulatet har blitt skrevet (se artikkelen om parallellpostulat for noen eksempler på ekvivalente påstander). Uansett hvordan det formuleres, betraktes det femte postulatet alltid å være mer komplisert enn Euklids øvrige postulater (som f.eks. inkluderer "Mellom to valgfrie punkter kan en rett linje trekkes").

I flere århundrer var geometrikere bekymret over det femte postulatets spesielle kompleksitet, og de trodde at det kunne bevises som et teorem ut av de øvrige fire. Mange forsøkte å finne et bevis gjennom selvmotsigelse, blant andre italieneren Giovanni Girolamo Saccheri. I et verk med tittelen Euclides ab Omnio Naevo Vindicatus (Euklid befridd fra alle brister), publisert i 1733, forkastet han raskt elliptisk geometri som en mulighet (noen andre av Euklids aksiomer må modifiseres for at elliptisk geometri skal fungere) og satte igang å bevise et stort antall resultater i hyperbolsk geometri. Til slutt nådde han et punkt der han trodde at hans resultater viste motsigelser i systemet, og dermed beviste at hyperbolsk geometri er ulogisk. Hans argumentasjon om motsigelse bygget mest sannsynlig på euklidske antagelser, og derfor fantes ikke noen motsigelser i hans eget verk.

Ca. hundre år senere, i 1829, publiserte den russiske matematikeren Nikolaj Lobatjevskij en avhandling om hyperbolsk geometri. Derfor kalles hyperbolsk geometri noen ganger for Lobatjevskijsk geometri. Rundt samme tidspunkt skrev også ungareren Janos Bolyai en avhandling om hyperbolsk geometri. Denne ble publisert i 1832 som et frittstående tillegg til et av hans fars verk. Den store matematikeren Carl Friedrich Gauss leste tillegget og avslørte for Bolyai at han selv hadde utarbeidet samme resultat en eller annen gang tidligere. Den grunnleggende forskjellen mellom disse og tidligere arbeid, som Saccheris, er at de var de første som offentlig hadde påpekt at euklidsk geometri ikke var den endelige geometrien, og heller ikke var den eneste mulige geometriske strukturen for universet. Imidlertid gjensto ennå muligheten for at aksiomet for hyperbolsk geometri var logisk selvmotsigende.

Bernhard Riemann grunnla under en berømt forelesning i 1854 feltet riemannsk geometri som gir en generell beskrivelse av alle ikke-euklidske geometrier. Her utgjør idéene som nå kalles mangfoldigheter, metrisk tensor og krumning det matematiske grunnlaget. Han viste at en uendelig familie av ikke-euklidske geometrier kunne beskrives, hvor hver er karakterisert med sin egen metrikk. Elliptisk og hyperbolsk geometri er da kun spesialtilfeller hvor krumningen er konstant i hele rommet. I en generell, riemannsk geometri vil den variere fra punkt til punkt.

Euklidsk geometri modelleres gjennom vårt begrep om et "flatt plan". Den enkleste modellen for elliptisk geometri er en sfære, der linjer er "storsirkler" (som ekvator eller meridianer på en globus). Selv etter Lobatjevskijs, Gauss' og Bolyais arbeid gjensto spørsmålet: eksisterer det en slik modell for hyperbolsk geometri? Dette spørsmålet ble besvart av Eugenio Beltrami i 1864. Han beviste at en overflate kalt pseudosfære har den passende krumningen for å modellere hyperbolsk geometri. Hans arbeid bygget direkte på Riemanns. Betydningen av Beltramis arbeid ligger i at han viste at hyperbolsk geometri er logisk motsigelsesfri dersom euklidsk geometri er det.

Utviklingen av ikke-euklidsk geometri viste seg å være svært viktig for fysikken på 1900-tallet. Albert Einsteins generelle relativitetsteori beskriver rommet som allment krummet på grunn av materie og annen energi som opptrer. Krumningen til rommet vil dermed variere på en tilsvarende måte og være beskrevet ved riemannsk geometri.

Se også

Litteratur

R. Bonola, Non-Euclidean Geometry: A Critical and Historical Study of Its Development, Dover Publications, New York (1955). ISBN 0-486-60027-0.
D.M.Y. Sommerville, The Elements of Non-Euclidean Geometry, Dover Publications, New York (1958).
I. Stewart, Flatterland, Perseus Publishing, New York (2001). ISBN 0-7382-0675-X.

Eksterne lenker