Normal (geometri)

To normaler til en flate, orientert i ulike retninger

En normal (også kalt en perpendikulær) er i geometri en rett linje, et linjestykke eller en vektor som danner en rett vinkel med en annen linje, kurve eller flate. Ordet normal kan også brukes som adjektiv om en linje som står vinkelrett på en annen linje eller plan.

For å presisere at ordet refererer til en vektor brukes ofte kombinasjonen normalvektor. En enhetsnormal er en normalvektor med lengde 1 og finnes ved normering.

Klassisk plangeometri

Normalene skjærer hverandre i ortosenteret

I euklidsk geometri i planet brukes ordet normal om en rett linje eller linjestykke som står vinkelrett på en annen linje, det vil si danner en vinkel på 90° med den andre linjen. Standard metoder eksisterer for konstruksjon av normaler ved hjelp av passer og linjal.

Til et linjestykke er det definert en midtnormal, det vil si en normal til linjestykket som går gjennom midtpunktet til linjestykket. Midtnormalen til linjestykket AB er det geometriske sted for et punkt som ligger like langt fra A og B. Midtnormalen til en korde vil gå gjennom sentrum i sirkelen.

To vinkler som har parvis normale vinkelbein er like.

I en trekant kan en definere en normal fra hvert hjørnepunkt og ned på den motstående siden. De tre normalene møter hverandre i et felles punkt kalt ortosenteret. Høyden i en trekant er avstanden fra en grunnlinje til det motstående hjørnet, det vil si lengden av normalen fra hjørnet og ned på grunnlinjen. Midtnormalene til sidene i en trekant skjærer hverandre i omsenteret til trekanten, som er senteret til den omskrevne sirkelen til trekanten.

Kurvenormaler

En normal til en kurve i et punkt P er en linje eller en vektor som står normalt på en tangent i P.

Plane kurver

En plan kurve definert eksplisitt ved funksjonen $y=f(x)$ har et stigningstall gitt ved den deriverte $f'(x)$. En tangent til denne kurven kan skrives på formen

$\mathbf {T} =\mathbf {i} +f'\mathbf {j}$,

der $\mathbf {i}$ og $\mathbf {j}$ er enhetsvektorer i henholdsvis $x$- og $y$-retningen. En normalvektor kan derfor uttrykkes

$\mathbf {N} =-f'\mathbf {i} +\mathbf {j}$.

Ligningen for en rett linje langs normalen, gjennom et punkt $(x_{0},y_{0})$ på kurven, blir dermed

$y=-{1 \over f'}(x-x_{0})+y_{0}$,

forutsatt at den deriverte i nevneren er ulik null.

For en kurve gitt implisitt ved en ligning $F(x,y)=0$ kan en definere en normal ved hjelp av gradienten $\nabla F$ til funksjonen. Generelt vil gradienten alltid stå vinkelrett på en nivåkurve til funksjonen $F=F(x,y)$, det vil si en kurve der funksjonen er konstant. Gradienten er derfor normal til en vilkårlig nivåkurve og også til kurven $F(x,y)=0$.

$\mathbf {N} ={\boldsymbol {\nabla }}F=F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j}$.

Her er $F_{x}$ og $F_{y}$ de to partiellderiverte av funksjonen $F$. Dersom $F(x,y)=y-f(x)$, så gir dette samme resultat som for en kurve gitt eksplisitt.

Romkurver

En kurve med tangent T og normal N. Binormalen B = T × N står vinkelrett på kurvens oskulasjonsplan.

For et punkt på en kurve i rommet R³ kalles planet normalt på en tangent for normalplanet, og en hver normal til kurven i punktet vil ligge i dette planet. For en romkurve gitt ved en parametrisering

$\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} +z(t)\mathbf {k}$,

vil en vektor

$\mathbf {T} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$

være en tangent. Normalplanet i punktet $\mathbf {r} _{0}$ på kurven, der tangenten tilsvarende er $\mathbf {T} _{0}$, er derfor

$\mathbf {T} _{0}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0$.

Merk at $\mathbf {r}$ i denne ligningen er posisjonsvektoren til et punkt på normalplanet, ikke på kurven.

For en romkurve er to normalvektorer spesielt viktige og er gitt egne navn, hovednormalen (eller prisipalnormalen) $\mathbf {n}$ og binormalen $\mathbf {b}$ . Begge disse vektorene er enhetsvektorer. For å definere de to spesielle normalene er det vanlig også å innføre enhetstangenten $\mathbf {t}$. Dette kan gjøres ved å normalisere $\mathbf {T}$, men også ved å innføre buelengden som parameter i stedet for den vilkårlige parameteren $t$. Buelengden $s$ er definert ved

$s(t)=\int _{t_{0}}^{t}\|\mathbf {T} \|dt=\int _{t_{0}}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}\;dt\ .$

Med buelengden som parameter for kurven er

$\mathbf {t} ={\frac {d\mathbf {r} }{ds}}$.

Derivasjon av ligningen $\mathbf {t} \cdot \mathbf {t} =1$ med hensyn på buelengden gir

${\frac {d\mathbf {t} }{ds}}\cdot \mathbf {t} =0.$

Den deriverte av enhetstangenten med hensyn på buelengden står altså normalt på tangenten og er dermed en normal til kurven. Hovednormalen er en enhetsvektor parallell med den deriverte:

${\begin{alignedat}{2}\mathbf {n} &=\kappa {\frac {d\mathbf {t} }{ds}}\\|\kappa |&=\left(\|{\frac {d\mathbf {t} }{ds}}\|\right)^{-1}\end{alignedat}}$

Størrelsen $\kappa$ er krumningen til kurven. En vanlig konvensjon er å la hovednormalen ha samme retning som den deriverte av enhetstangenten, og krumningen er da alltid positiv. Denne konvensjonen er imidlertid ikke alltid brukt. Inversen av absoluttverdien til krumningen er krumningsradien, og dette er radien i oskulasjonssirkelen. Denne sirkelen kan en betrakte som en sirkel gjennom tre påfølgende punkt på kurven. Sentrum i oskulasjonssirkelen, krumningssenteret, ligger langs hovednormalen. Planet utspent av hovednormalen og tangenten kalles oskulasjonsplanet, og oskulasjonssirkelen ligger i dette planet.

Binormalen er definert ved hjelp av tangenten og hovednormalen:

$\mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n}$.

Binormalen står vinkelrett på oskulasjonsplanet. De tre vektorene tangenten, hovednormalen og binormalen står gjensidig normalt på hverandre. Relasjoner mellom disse tre vektorene er gitt ved Frenet-Serrets formler.

Hovednormalen og binormalen utspenner sammen normalplanet. En vilkårlig normal til kurven kan skrives på formen $(\alpha \mathbf {n} +\beta \mathbf {b} )$, der $\alpha$ og $\beta$ er vilkårlige konstanter.

Flatenormaler

En krum flate med tangentplan og normalvektor.

Normalen til en flate i et punkt P er en linje eller vektor som står normalt på tangentplanet til flaten i P. Tangentplanet inneholder alle tangentene til flaten i punktet P.

Dersom flaten er definert ved hjelp av to parametre $u$ og $v$, så kan hvert punkt på flaten angis ved vektoren

$\mathbf {r} (u,v)=x(u,v)\mathbf {i} +y(u,v)\mathbf {j} +z(u,v)\mathbf {k}$.

Parametriseringen gjør det mulig å definere to tangentvektorer:

${\begin{alignedat}{2}\mathbf {T} _{1}&=\mathbf {r} _{u}&={\partial \mathbf {r} \over \partial u}\\\mathbf {T} _{2}&=\mathbf {r} _{v}&={\partial \mathbf {r} \over \partial v}\end{alignedat}}$

En normalvektor i et vilkårlig punkt er nå gitt ved kryssproduktet

$\mathbf {N} (u,v)=\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}$.

Fra definisjonen av kryssproduktet følger det at $\mathbf {N}$ står vinkelrett på begge tangentvektorene.

For en flate gitt på den enkle formen $z=f(x,y)$, med uavhengige koordinater $x$ og $y$, er to tangentvektorer gitt ved

${\begin{alignedat}{2}\mathbf {T} _{1}=\mathbf {r} _{x}=\mathbf {i} +f_{x}\mathbf {k} \\\mathbf {T} _{2}=\mathbf {r} _{y}=\mathbf {j} +f_{y}\mathbf {k} \end{alignedat}}$

En normalvektor er tilsvarende gitt ved

$\mathbf {N} (x,y)=\mathbf {r} _{x}\times \mathbf {r} _{y}=-f_{x}\mathbf {i} -f_{y}\mathbf {j} +\mathbf {k}$

For en flate definert implisitt ved en ligning $F(x,y,z)=0$ er en flatenormal gitt ved gradienten, tilsvarende som for en kurve i planet:

$\mathbf {N} ={\boldsymbol {\nabla }}F=F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{y}\mathbf {k}$.

Normaler i ikke-euklidsk geometri

I nyere matematikk studerer en i affin geometri egenskaper som er uavhengig av definisjonen av avstand og vinkler. I en slik geometri eksisterer det altså ikke normaler. Vinkler eksisterer imidlertid i nøytral geometri, der en studerer egenskaper uavhengig av parallellaksiomet. Også i nøytral geometri kan en fra et punkt trekke én og kun én normal fra punktet ned på en gitt linje.

Etymologi

Det latinske ordet «norma» betegnet en vinkelhake, brukt av håndverkere for å lage rette vinkler. Også ordet perpendikulær har latinsk opphav, fra «perpendiculum, med betydning loddsnor. En loddsnor danner en normal til jordoverflaten.

Historie

I oldtidens Kina, India og Egypt har en antagelig svært lenge konstruert rette vinkler ved hjelp av et tau inndelt i tre lengder i forholdet 3:4:5. Ved å bruke disse lengdene som sider i en trekant, vil vinkelen mellom de to korteste sidene være rett, da (3,4,5) er et pythagoreisk trippel. Grekerne kunne referere til egyptiske landmålere som «tau-strekkere». Den greske filosofen Thales fra Milet, som levde omkring seks hundre år før Kristus, skal ha vært den første til å erkjenne at to rette vinkler er like. Thales teorem blir i dag brukt som navn for et utsagn om at en trekant innskrevet i en sirkel, med sirkeldiameteren som en side, er rettvinklet. Det er imidlertid uvisst om Thales er opphavsmannen til dette.

I innledende definisjoner i Elementer sier Euklid at to linjer som krysser hverandre vil danne en rett vinkel, dersom de to nabovinklene som dannes er like. Den ene rette linjene danner da en perpendikulær til den andre. Det fjerde aksiomet til Euklid, for det som vi i dag kjenner som euklidsk geometri, er at alle rette vinkler er like. Ifølge tråd med David Hilberts formulering av aksiom for moderne geometri, vil en si at rette vinkler er kongruente.

I boka La geométrie fra 1637 drøfter René Descartes konstruksjon av normaler for tre ulike plane kurver, inkludert for ellipser. Descartes var den første til å kombinere geometri og algebra, og normalen ble funnet ved hjelp av ligningsløsning. Et punkt S på $x$-aksen, med koordinater $(v,0)$ ble brukt som sentrum i en sirkel. Radien i sirkelen er definert slik at sirkelen skjærer ellipsen i et gitt punkt P. Generelt vil sirkelen også skjære ellipsen i et annet punkt Q. Koordinatene til de to skjæringspunktene mellom kurvene og sirkelen kan finnes ved å kombinere ligningen for kurven med ligningen for sirkelen. Når kurven er en ellipse, gir dette en andregradsligning for den ene koordinaten til de to skjæringspunktene. De to røttene i denne ligningene er sammenfallende når de to punktene P og Q faller sammen. Dette gir en ligning som bestemmer sentrum i sirkelen, det vil koordinaten $v$, når sirkelen tangerer kurven. En rett linje gjennom sentrum S og punktet P er dermed en normal til ellipsen i P. Descartes metode lot seg gjennomføre bare for visse typer algebraiske kurver.

Et viktig bidrag til at arbeidet til Descartes ble allment kjent, var den kommenterte latinske oversettelsen til Frans van Schooten (1615-1660). Schooten viste at Descartes metode fungerer også for en parabel og en hyperbel. I tillegg bidro han med å fylle ut detaljer for konstruksjon av en normal for en konkoide, som Descartes hadde omtalt uten bevis.

Den franske matematikeren Jean Frédéric Frenet omtalte det vi i dag kjenner som Frenet-Serrets formler i et doktorgradsarbeid fra 1847. Uavhengig av dette arbeidet, publiserte landsmannen Joseph Alfred Serret samme resultat i 1851. Moderne vektornotasjon var ikke tatt i bruk da Frenet og Serret presenterte resultatene.

Litteratur

• D.J. Struik (1961). Lectures on classical differential geometry. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-65609-8. 
• George B. Thomas, Ross. L. Finney (1979). Calculus and analytical geometry. Reading, USA: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-07523-7.