Affin geometri

Affin geometri er en forenklet utgave av euklidsk geometri. Den omhandler punkter og rette linjer i et affint rom, men inneholder ingen sirkler. Man har derfor ikke muligheten for å konstruere en rett vinkel. Mer generelt kan man derfor heller ikke snakke om vinkelen mellom to linjer som skjærer hverandre. Dette har også som konsekvens at Pytagoras’ læresetning ikke gjelder slik at man ikke kan bestemme lengder av forskjellige linjestykker.

Men parallellaksiomet til Euklid skal være gyldig. Gitt et punkt utenfor en linje, kan man derfor alltid finne en linje gjennom dette punktet og parallell med den gitte linjen. Eksistensen av parallelle linjer gjør det også mulig å geometrisk dele opp et linjestykke i mindre deler med samme, relative lengder. På den måten er det mulig å angi lengden av et linjestykke i forhold til et annet linjestykke i samme retning. Dermed kan man benytte delingsforholdet til å beskrive relative avstander mellom punkt på samme linje.

Punkter og linjer

Resultatet av to forskyvninger u og v er lik en forskyvning med vektorsummen u + v.

Gjennom to punkt P og Q i det affine rommet kan det trekkes en rette linje. Linjestykket PQ kan man tenke seg som en pil som starter i P og med spissen i Q. Matematisk kan man da skrive at Q = P + v  hvor vektoren v = Q - P tilsvarer denne pilen. Den står for en forskyving eller forflytning fra P til Q. Punktet Q + v = P + 2v  kan da konstrueres og tilsvarer en dobbelt så lang forflytning fra utgangspunktet P. Generelt kan punktet Q' = P + a v  nå finnes hvor a er et vilkårlig tall. Fra forskyvninger i motsatt retning, kan man likedan definere den negative vektoren -v = P - Q . Ved parallellforskyvning kan disse vektorene tenkes å virke på ethvert punkt i det affine rommet hvor de vil gi tilsvarende forflytninger uansett utgangspunkt.

Hvis man har et tredje punkt R utenfor linjen gjennom P og Q, har man samtidig en ny vektor u = R - P. Det gjør det så mulig å konstruere et fjerde punkt S = R + v. Det kan skrives som S = P + w  hvor vektoren w = u + v  fremkommer ved vanlig addisjon av vektorer som er konsistent med at S = Q + u.

Koordinatsystem

Da det ikke eksisterer noen rette vinkler i et affint rom, kan man ikke benytte et kartesisk koordinatsystem til å stedfeste punkter i rommet. Men da alle punkter kan angis i forhold til et endelig antall referansepunkter, er det likevel mulig å koordinatisere dette rommet på andre måter. For det n-dimensjonale, affine rommet Aⁿ behøver man n + 1 slike referansepunkt. Det tilsvarer at det kan inneholde maksimalt n lineært uavhengige vektorer.

Et vilkårlig punkt X på linjen gjennom P og Q = P + v  vil i alminnelighet kunne skrives som X = P + tv . Har parameteren t  verdien t = 0, gir dette utgangspunktet P, mens for t = 1 finner man punktet Q. Er derimot t > 1, ligger punktet X utenfor Q, mens for t < 0  ligger det utenfor P. Da v = Q - P, har man sammenhengen

$X=P+t(Q-P)=(1-t)P+tQ$

mellom disse punktene. Parameteren t bestemmer derfor posisjonen til punktet X og kalles dets koordinat langs linjen.

Affine koordinater

Hvert punkt X på en linje mellom to referansepunkt P og Q kan angis ved en posisjonsvektor fra et origo O.

I stedet for å omtale abstrakte punkter, kan man også angi deres posisjon ved vektorer. Til det trenges et felles referansepunkt O som da vil være et origo til koordinatsystemet. Punktet P er forskjøvet fra dette med en vektor r_P = P - O  som er dets posisjonsvektor. Defineres på samme måte posisjonsvektorene r_Q  og r_X, kan da punkter på linjen gjennom P og Q  skrives som

$\mathbf {r} _{X}=\lambda _{1}\mathbf {r} _{P}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{Q}$

hvor koeffisientene (λ₁, λ₂) = (1 - t, t). De omtales som de affine koordinatene til punktet X og tilfredsstiller λ₁ + λ₂ = 1. Samtidig er de ekvivalente med normaliserte, barysentriske koordinater til X da dette punktet kan betraktes som massesenteret for en masse λ₁  plassert i punktet P og en masse λ₂  plassert i punktet Q. De to gitte punktene P  og Q har henholdsvis de barysentriske koordinatene (1,0)  og (0,1), mens deres midtpunktet er gitt som (1/2,1/2).

Tre referansepunkt P₁, P₂  og P₃ som ikke ligger på samme linje, kan betraktes som hjørnene i en trekant og definerer dermed et plan. På tilsvarende måte vil da hvert punkt i dette planet kunne skrives som

$P=\lambda _{1}P_{1}+\lambda _{2}P_{2}+\lambda _{3}P_{3}$

hvor de affine koordinatene (λ₁, λ₂, λ₃) oppfyller betingelsen λ₁ + λ₂ + λ₃ = 1. For gitte verdier av disse koordinatene kan det tilsvarende punktet finnes ved å beregne tyngdepunktet for de tre gitte punktene med disse massene. Punkter innen trekanten som har de tre punktene som hjørner, har alle tre koordinater postive. For punkter utenfor er minst en av dem negativ. De tre hjørnene har henholdsvis koordinatene (1,0,0), (0,1,0) og (0,0,1). Punkter på siden av trekanten som ligger motsatt punktet P₁, har alle λ₁ = 0 . Likedan har punkter som ligger på linjer parallelle til sidekanten motsatt P₁, samme verdi for koordinaten λ₁. Det samme gjelder for de andre hjørnene i trekanten og linjer parallelle med deres motsatte sider.

I affine rom med høyere dimensjoner kan slike barysentriske koordinater innføres på tilsvarende måte.

Vektorkomponenter

For punkter i et affint plan er det bare to uavhengige, barysentriske koordinater da λ₃ = 1 - λ₁ + λ₂. Hvert punkt P i planet kan derfor skrives som P = P₃ + λ₁(P₁ - P₃) + λ₂(P₂ - P₃). Her kan nå vektorene v₁ = P₁ - P₃  og v₂ = P₂ - P₃  betraktes som to basisvektorer i det affine planet. Ved å innføre posisjonsvektoren v = P - P₃ , er posisjonen til hvert punkt gitt ved vektoren

$\mathbf {v} =\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}$

hvor det tredje referansepunktet P₃  opptrer som et origo. På denne måten er hvert punkt nå gitt ved de to koordinatene (λ₁, λ₂). De kan ta alle verdier uavhengig av hverandre og kalles vektorens komponenter i dette koordinatsystemet. De kan også innføres på samme måte i affine rom med høyere dimensjoner.

Eksempel: Menelaos' teorem

Menelaos' teorem gjelder en linje som skjærer gjennom en trekant som her er ABC.

Mange geometriske bevis som bare involverer rette linjer og deres skjæringspunkt, er enklere i affin geometri enn i euklidsk geometri. Et eksempel er Menelaos' teorem som omhandler forholdene mellom linjestykkene som oppstår når en linje skjærer gjennom en trekant. Er denne gitt ved de tre hjørnepunktene A, B og C, kan man angi skjæringspunktene D, E og F med barysentriske koordinater på de tilsvarende sidene i trekanten. Da er punktene D = aB + a' C og E = bC + b' A hvor man har a + a' = b + b' = 1. Likedan ligger skjæringspunktet F på samme linje som A og B som betyr at F = cA + c' B med c + c' = 1. Men dette punktet ligger også på linjen gjennom hjørnene D og E  slik at man må kunne skrive F = tD + t' E  med t + t' = 1. Settes her inn uttrykkene for D og E, får man betingelsen ta' = - t' b samtidig som at c = t' b'  og c' = ta  ved å sammenligne koeffisientene foran A og B. Elimineres herfra t og t', står man igjen med betingelsen abc = - a' b' c'  for at de tre skjæringspunktene ligger på samme linje.

Dette resultatet kan skrives mer konkret ved å uttrykke de barysentriske koordinatene ved delingsforhold. For eksempel, så er forholdet a'/a = BD/DC hvor linjestykket BD har en retning slik at BD = - DB. I euklidsk geometri er dette forholdet lik forholdet mellom lengdene til de to linjestykkene, men det har også en veldefinert verdi i affin geometri. Betingelsen for at de tre punktene D, E og F skal ligge på en rett linje er derfor

${\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1$

Dette er Menelaos' teorem. Det tilsvarer Cevas setning som gir en lignende betingelse for at tre linjer fra hjørnene i en trekant skal gå gjennom samme punkt. I Menelaos' teorem er venstre side i betingelsen negativ da de to linjestykkene i delingsforholdet AF/FB er motsatt rettet. Det skyldes at punktet F ligger utenfor trekanten. Alltid når en linje skjærer en trekant, må et av skjæringspunktene ligge på en forlengelse av en av sidekantene.

Endelige geometrier

Et affint rom med et endelig antall punkter og linjer, sies å ha en endelig geometri. Hver av disse kan formuleres som en insidensgeometri. Skal den være affin, må spesielt parallellaksiomet være oppfylt. Det garanterer at gjennom hvert punkt utenfor en linje går det nøyaktig en parallell linje.

De forskjellige koordinatene man bruker i affin geometri, er vanligvis reelle tall R. Det affine rommet med m dimensjoner over denne kroppen kan da betegnes som A^m(R). Benytter man i stedet en endelig tallkropp, vil man da få en endelig geometri. Da disse tallkroppene kalles Galois-kropper, blir den resulterende geometrien ofte omtalt som en Galois-geometri.

Affine plan

Illustrasjon av et affint plan med 4 punkt og 6 linjer. Linjer med samme farge er parallelle.

De enkleste insidensgeometrier inneholder bare punkter og linjer. Disse vil derfor være plane geometrier. Et affint plan kan da defineres ved aksiomene:

1. Gjennom to forskjellige punkter går det en linje.
2. Gjennom et punkt utenfor en linje går det en parallell linje.
3. Det finnes minst fire punkt hvor ikke tre av dem ligger på samme linje.

Mens det andre postulatet sikrer at det finnes parallelle linjer, vil det tredje garantere at geometrien er ikke-triviell. Det ville være tilfelle hvis alle punktene lå på en og samme linje.

Utfra disse aksiomene kan man så bygge opp geometier for forskjellige, affine plan. Den eneste ukjente som da inngår, vil være antall punkter som ligger på samme linje. Denne parameteren kalles planets orden eller kardinalitet. Betegnes denne med bokstaven n, kan man da direkte fra aksiomene vise at det vil gå n + 1 linjer gjennom hvert punkt i planet. Det vil inneholde i alt n² slike punkt og n² + n  linjer.

Galois-geometrier

Affine plan kan også konstrueres ved å gå ut fra endelige, Galois-kropper. Det enkleste tilfellet får man ved å benytte binære tall, 0 eller 1. Denne tallkroppen kalles vanligvis for F₂. Et affint plan over denne endelig kroppen betegnes da med A²(F₂) og inneholder bare fire punkter. De har affine koordinater (0,0), (0,1), (1,0) og (1,1). Ingen andre punkt kan eksistere i dette affine planet. Det har orden n = 2.

Betegner man de to affine koordinatene som (x,y), kan en linje i dette planet skrives som y = ax + b hvor også koeffisientene a og b er binære tall. Det gir opphav til de fire linjene y = 0, y = 1, y = x og y = x + 1. I tillegg har man de to "vertikale" linjene x = 0 og x = 1. Det gir i alt seks linjer som vist i figuren. På hver linje ligger det to punkt, mens gjennom hvert punkt løper det tre linjer. Til hver linje finnes det en parallell linje, det vil si at den ikke har noen felles punkt med den gitt linjen. Dette utgjør den såkalte firepunktsmodellen for det affine planet.

Affint plan av orden n = 3. Det har 9 punkt og 12 linjer. Linjer med samme farge er parallelle.

En annen måte å betrakte den, er å tenke seg de fire punktene på hjørnene av et tetraeder. Sider som forbinder forskjellige hjørner, kan da betraktes å være parallelle hvis tetraederet brukes som en illustrasjon av dette affine planet.

Ved å benytte større tallkropper F_n  med n > 2  tall, kan man på samme måte konstruere større, affine plan. Det vil da inneholde n² punkter. Hver linje vil inneholde n  punkt som følger fra å angi dem med linjekoordinater. Hvis man tenker seg et punkt P utenfor en linje p, vil det være en linje gjennom P som er parallell med denne linjen. Alle andre linjer gjennom P må skjære linjen p i et punkt. Da den inneholder i alt n punkt, er det totale antall linjer gjennom hvert punkt P lik n + 1. Hver linje er av formen y = ax + b hvor det er i alt n² mulige kombinasjoner av koeffisientene (a,b). I tillegg er det n vertikale linjer av formen x = k da også konstanten k må tilhøre tallkroppen F_n. Det totale antall linjer i planet er derfor n² + n. Firepunktsmodellen har n = 2 og inneholder seks linjer som tidligere funnet.

Et annet eksempel er det affine planet med orden n = 3. Det har i alt ni punkter og tolv linjer. Disse kan organiseres i fire grupper, hver med tre parallelle linjer som vist i figuren.

Se også

• Geometri
• Insidensgeometri
• Projektivt plan

Litteratur

• J. N. Cederberg, A Course in Modern Geometries, Springer-Verlag, Berlin (2001). ISBN 0-387-98972-2.
• D. Pedoe, Geometry: A Comprehensive Course, Dover Publications, New York (2013). ISBN 1-306-340551.