Stigeoperator

Med stigeoperatorer kan man gå opp eller ned i egenverdier.

Stigeoperatorer benyttes i lineær algebra og kvantemekanikk til å heve eller senke egenverdien til en annen operator. Når de benyttes i kvantefeltteori, kalles de vanligvis for kreasjons- og annihilasjonsoperatorer siden de skaper eller fjerner partikler eller kvant.

Operatorene spiller en sentral rolle i kvantisering av en harmonisk oscillator. De benyttes også ved kvantisering av dreieimpuls. Dette tilsvarer etablering av representasjoner til Lie-gruppen SU(2) for rotasjoner. Mer generelt opptrer de i klassifikasjon og representasjon av alle Lie-grupper.

Definisjon

Bruk av stigeoperatorer i fysikk kan føres tilbake til Paul Dirac og hans første bidrag til kvantemekanikken. Med sin egen formalisme basert på lineær algebra beskrev han den matematisk ved operatorer som virker i et multidimensjonalt vektorrom.

La ${\hat {N}}$ være en hermitisk operator i dette vektorrommet med egenverdi n. Ved å benytte Diracs notasjon, vil da

${\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle$

Anta at det finnes i tillegg en annen operator ${\hat {S}}$ med den spesielle egenskapen

$[{\hat {N}},{\hat {S}}]=s{\hat {S}}\,$

hvor s er et reelt tall. Kommutatoren mellom to operatorer er her definert som $[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$ i kvantemekanikken. Operatoren ${\hat {S}}$ kalles nå for en «stigeoperator» hvor navnet kommer fra egenskapen

${\begin{aligned}{\hat {N}}{\hat {S}}|n\rangle &=({\hat {S}}{\hat {N}}+s{\hat {S}})|n\rangle \\&=(n+s){\hat {S}}|n\rangle \end{aligned}}$

Det betyr at vektoren ${\hat {S}}|n\rangle$ er en ny egenvektor med egenverdi n + s. Gjentatt bruk av denne operatoren vil da kunne skape nye egenvektorer med tilsvarende egenverdier med samme avstand fra den forangående. Hvis konstanten s  er positiv, er det naturlig å kalle operatoren ${\hat {S}}$ mer spesifikt for en heveoperator.

Da den hermitisk adjungerte operatoren ${\hat {S}}^{\dagger }$ har kommutatoren

$[{\hat {N}},{\hat {S}}^{\dagger }]=-s{\hat {S}}^{\dagger },$

vil man på samme vis få at denne virker som en tilsvarende senkeoperator da den reduserer egenverdien med s.

Harmonisk oscillator

Hamilton-operatoren for en harmonisk oscillator med frekvens ω  er

${\hat {H}}={\Big (}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{1 \over 2}{\Big )}\hbar \omega$

hvor ħ  er den reduserte Planck-konstanten. Operatorene ${\hat {a}}$ og ${\hat {a}}^{\dagger }$ har den fundamentale kommutatoren

$[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1$

Egenvektorene til Hamilton-operatoren er de samme som for den hermitiske operatoren ${\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}.$ Den har derfor egenvektorer ${\hat {N}}|n\rangle =n|n\rangle$ med egenverdier n  som er reelle tall. Nå er

$[{\hat {N}},{\hat {a}}]={\hat {N}}{\hat {a}}-{\hat {a}}{\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}{\hat {a}}-{\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}=-{\hat {a}}$

slik at ${\hat {a}}$ er en senkeoperator som reduserer egenverdien med én. Siden energien til oscillatoren må være positiv, må ${\hat {N}}$ ha en minste egenverdi n = 0. Den tilsvarende tilstanden må oppfylle ${\hat {a}}|0\rangle =0$ slik at ikke senkeoperatoren genererer tilstander med negativ energi.

Basert på denne «grunntilstanden» $|0\rangle$ med energi E₀ = (1/2)ħω  kan man så konstruere tilstander med høyere energi ved å benytte den hermitisk adjungerte operatoren ${\hat {a}}^{\dagger }.$ Den virker nå som en heveoperator og vil øke energien i stepp med størrelse ħω.

Normering

Bruk av stigeoperatorer forenkles betraktelig når de virker på normerte tilstander, det vil si med vektorer i tilstandsrommet som har samme lengde. Ved å velge denne å være gitt ved $\langle 0|0\rangle =1,$ vil også de eksisterte tilstandene få samme normering.

Da tilstanden ${\hat {a}}|n\rangle$ har egenverdi n - 1, må den kunne skrives som

${\hat {a}}|n\rangle =c|n-1\rangle$

hvor c  er en normeringskonstant som må bestemmes. Men hvis vektorene på begge sider av ligningen er normerte til én, vil

$|c|^{2}=\langle n|{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|n\rangle =n$

Det betyr at c = √n  når man velger dette tallet å være reelt. Derfor har man

${\begin{aligned}{\hat {a}}|n\rangle &={\sqrt {n}}\,|n-1\rangle \\{\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}\,|n+1\rangle \end{aligned}}$

etter å ha brukt at ${\hat {a}}{\hat {a}}^{\dagger }={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+1$ i den siste relasjonen. Denne kan nå brukes til å konstruere en vilkårlig egenvektor som

${\begin{aligned}|n\rangle &={\sqrt {1 \over n}}\,{\hat {a}}^{\dagger }|n-1\rangle ={\sqrt {1 \over n(n-1)}}\,({\hat {a}}^{\dagger })^{2}|n-2\rangle \\&={\frac {(a^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}\,|0\rangle \end{aligned}}$

Den er da automatisk normert og kan benyttes til å gi de tilsvarende bølgefunksjonene på en mye enklere måte enn å finne disse som løsninger av Schrödinger-ligningen.

Kreasjons- og annihilasjonsoperatorer

Ved å foreta en Fourier-transformasjon av et fritt, elektromagnetisk felt, vil hver komponent variere med tiden som en harmonisk oscillator med en frekvens som er omvendt proporsjonal med bølgelengden til komponenten. Når dette strålingsfeltet blir kvantisert, kan man derfor å innføre stigeoperatorer ${\hat {a}}$ og ${\hat {a}}^{\dagger }$ sammen med antallsoperatoren ${\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}$ med egenverdier som angir hvor mange kvant som har denne frekvensen. Kvantene til det elektromagnetiske feltet er fotoner og oppfyller Bose-Einstein statistikk.

På dette viset kå de kvantemekaniske egenskapene til alle bosoner beskrives ved et tilsvarende sett av operatorer ${\hat {a}}_{k}$ og ${\hat {a}}_{k}^{\dagger }$ hvor indeksen k  angir kvantetallene som karakteriserer energien til én slik partikkel. Når de er frie uten gjennsidige vekselvirkninger, vil hvert. sett av slike stigeoperatorer være uavhengig av de andre. De eneste kommutatorene som kan være forskjellige fra null, er derfor

$[{\hat {a}}_{k},{\hat {a}}_{k'}^{\dagger }]=\delta _{kk'}$

når man uttrykker høyresiden ved Kronecker-deltaet som er én når k = k'  og null ellers. Antall kvant eller partikler med kvantetallet k er nå gitt ved antallsoperatoren

${\hat {N}}_{k}={\hat {a}}_{k}^{\dagger }{\hat {a}}_{k}$

Da den har egenskapen

$[{\hat {N}}_{k},{\hat {a}}_{k'}^{\dagger }]={\hat {a}}_{k}^{\dagger }\delta _{kk'},$

er ${\hat {a}}_{k}^{\dagger }$ en heveoperator som øker antall kvant med dette kvantetallet med én. Dermed er det også skapt en ny partikkel med dette kvantetallet slik at operatoren i denne kvantefeltteoretiske sammenhengen vanligvis blir kalt for en kreasjonsoperator. Av samme grunn omtales da senkeoperatoren ${\hat {a}}_{k}$ som en annihilasjonsopperator da den fjerner en partikkel fra systemet.

Symmetriske mangepartikkeltilstander

Ved bruk av disse operatorene kan nå hver kvantetilstand til det frie feltet beskrives ved antall kvant som er i hver énpartikkeltilstand,

$|n_{1},n_{2},n_{3},\ldots \rangle =\prod _{k}{\frac {(a_{k}^{\dagger })^{n_{k}}}{\sqrt {n_{k}!}}}\,|0\rangle$

hvor $|0\rangle$ er den tomme tilstand uten noen partikler. Den kalles i denne sammenhengen for et vakuum og oppfyller

${\hat {a}}_{k}|0\rangle =0$

for alle kvantetall k. Når denne operatoren virker på en vilkårlig tilstand, blir resultatet

${\hat {a}}_{k}|n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k},\ldots \rangle ={\sqrt {n_{k}}}\,|n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}-1,\ldots \rangle ,$

mens den tilsvarende virkning av en kreasjonsoperator er

${\hat {a}}_{k}^{\dagger }|n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k},\ldots \rangle ={\sqrt {n_{k}+1}}\,|n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}+1,\ldots \rangle ,$

Disse mangepartikkeltilstandene er ekvivalente med de som kan bygges opp med symmetrisk statiistikk for identiske bosoner.

Fermioner

Partikler med halvtallig spinn er fermioner. og oppfyller derfor Paulis eksklusjonsprinsipp. Hver kvantetilstand kan ifølge dette ikke inneholde mer enn maksimalt én partikkel. Det kan beskrives ved å definere kreasjons- og annihilasjonsoperatorer ${\hat {b}}_{k}$ og ${\hat {b}}_{k}^{\dagger }$ som er «antikommuterende». Denne egenskapen er definert ved

$\{{\hat {b}}_{k},{\hat {b}}_{k'}^{\dagger }\}\equiv {\hat {b}}_{k}{\hat {b}}_{k'}^{\dagger }+{\hat {b}}_{k'}^{\dagger }{\hat {b}}_{k}=\delta _{kk'}$

sammen med

$\{{\hat {b}}_{k},{\hat {b}}_{k'}\}=\{{\hat {b}}_{k}^{\dagger },{\hat {b}}_{k'}^{\dagger }\}=0.$

Hvis den tomme tilstanden igjen betegnes som $|0\rangle$ slik at ${\hat {b}}_{k}|0\rangle =0,$ vil en énpartikkeltilstand være $|k\rangle ={\hat {b}}_{k}^{\dagger }|0\rangle .$ Da kan ikke denne tilstanden inneholde enda en partikkel av samme slaget da ${\hat {b}}_{k}^{\dagger }|k\rangle =0$ fordi ${\hat {b}}_{k}^{\dagger }{\hat {b}}_{k}^{\dagger }=0$ og Paul-prinsippet er oppfylt.

Alternativt er dette en konsekvens av at antalloperatoren ${\hat {N}}_{k}={\hat {b}}_{k}^{\dagger }{\hat {b}}_{k}$ har egenskapen

${\hat {N}}_{k}^{2}={\hat {b}}_{k}^{\dagger }{\hat {b}}_{k}{\hat {b}}_{k}^{\dagger }{\hat {b}}_{k}={\hat {b}}_{k}^{\dagger }(1-{\hat {b}}_{k}^{\dagger }{\hat {b}}_{k}){\hat {b}}_{k}={\hat {N}}_{k}$

igjen fordi ${\hat {b}}_{k}{\hat {b}}_{k}=0.$ Da nå ${\hat {N}}_{k}({\hat {N}}_{k}-1)=0,$ vil egenverdiene til operatoren kun ha verdiene én eller null.

Dreieimpuls og spinn

De tre komponentene til dreieimpulsoperatoren ${\hat {\mathbf {J} }}=({\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z})$ kommuterer med kvadratet ${\hat {\mathbf {J} }}^{2},$ men ikke med hverandre. Ved å innføre lineærkombinasjonene ${\hat {J}}_{\pm }={\hat {J}}_{x}\pm i{\hat {J}}_{y},$ kan kommutatorene skrives som

${\begin{aligned}\left[{\hat {J}}_{+},{\hat {J}}_{-}\right]&=2\hbar {\hat {J}}_{z}\\\left[{\hat {J}}_{z},{\hat {J}}_{\pm }\right]&=\pm \hbar {\hat {J}}_{\pm }\end{aligned}}$

Kvantisert dreieimpuls har nå egenvektorer $|j,m\rangle$ for både ${\hat {\mathbf {J} }}^{2}$ og samtidig for komponenten ${\hat {J}}_{z},$ langs z-aksen,

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {J} }}^{2}|j,m\rangle &=\hbar ^{2}j(j+1)|j,m\rangle \\{\hat {J}}_{z}|j,m\rangle &=\hbar m|j,m\rangle \end{aligned}}$

Her vil kvantetallet j  kunne anta verdiene 0, 1/2, 1, 3/2 og så videre. Det gir størrelsen til den totale dreieimpulsen, mens kvantetallet m  gir verdien av denne langs z-aksen og varierer fra +j  til -j  i stepp på én.

Disse 2j + 1 steppene kan betraktes som trinn i en stige hvor øverste trinn er representert ved den høyeste tilstanden $|j,+j\rangle$ Fra kommutatorene ser man at ${\hat {J}}_{\pm }$ virker som heve- og senkeoperatorer i denne stigen. Deres numeriske effekt kan summeres opp ved at

${\hat {J}}_{\pm }|j,m\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}\,|j,m\pm 1\rangle$

For hver verdi av kvantetallet j  kan man herav beregne matriserepresentasjoner av de abstrakte operatorene $({\hat {J}}_{x},{\hat {J}}_{y},{\hat {J}}_{z}).$ I det enkleste tilfellet er j = 1/2 og operatorene er representerte ved Pauli-matriseer.

Addisjon av dreieimpulser

Et atom har en total dreieimpuls som er gitt av summen

${\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}+{\hat {\mathbf {S} }}$

hvor ${\hat {\mathbf {L} }}$ er den orbitale dreieimpulsen som skyldes elektronenes bevegelse omkring atomkjernen og ${\hat {\mathbf {S} }}$ er dens og elektronenes indre dreieimpuls eller spinn. Egenvektorene til denne kombinerte operatoren vil nå bestå av lineærkombinasjoner av produkt $|\ell ,m_{\ell }\rangle |s,m_{s}\rangle$ av egentilstander til hver av operatorene. Disse kan igjen finnes ved å la senkeoperatoren ${\hat {J}}_{-}={\hat {L}}_{-}+{\hat {S}}_{-}$ virke på den høyeste tilstanden $|\ell ,+\ell \rangle |s,+s\rangle .$ Den har m = ℓ + s  som også er verdien til totalspinnet j. Resultatet etter én gangs bruk av senkeoperatoren er en lineærkombinasjon av tilstandene $|\ell ,\ell -1\rangle |s,s\rangle$ og $|\ell ,\ell \rangle |s,s-1\rangle .$ Selv om denne har m = ℓ + s - 1, er totalspinnet uforandret og lik med j = ℓ + s. Fortsatt bruk av ${\hat {J}}_{-}$ vil skape nye trinn i denne stigen eller multipletten med mindre verdier av m, men samme j. Derimot hvis man danner en ny tilstand som er ortogonal med de to tilstandene som utgjør egentilstanden $|\ell +s,\ell +s-1\rangle ,$ vil den være den høyeste tilstanden for en ny stige med j = ℓ + s - 1.

På denne måten kan man bygge opp nye egentilstander med total dreieimpuls j = ℓ + s, ℓ + s - 1, ℓ + s - 2, ..., ℓ - s  hvis man antar at ℓ ≥ s. Det opprinnelige antall (2ℓ + 1)⋅(2s + 1) tilstander splittes dermed opp i forskjellige spinnmultipletter, hver med 2j + 1 tilstander. Men det totale antall tilstander forblir uforandret,

${\begin{aligned}&\sum _{\ell -s}^{\ell +s}(2j+1)=\sum _{k=0}^{2s}[2(\ell -s+k)+1]\\&=[2(\ell -s)+1](2s+1)+2s(2s+1)=(2\ell +1)(2s+1)\end{aligned}}$

I det motsatte tilfellet med ℓ < s, vil de resulterende spinnmultiplettene ha j = s + ℓ, s + ℓ - 1, ..., s - ℓ og kan finnes på samme vis.