Sobolev-rom

Innen matematikk er Sobolev-rom et funksjonsrom som består av funksjoner som tilhører et $L^{p}$-rom, og hvis deriverte, opp til en viss orden og forstått som svake deriverte, også tilhører dette rommet. Intuitivt er Sobolev-rom funksjonsrom som har tilstrekkelig mange deriverte til å gi det teoretiske grunnlaget for visse anvendelser, der spesielt løsning av partielle differensialligninger er sentralt. Dette kommer av at flere viktige ligninger har løsninger som eksisterer i Sobolev-rom, men ikke i rom av kontinuerlige funksjoner der de deriverte er forstått på vanlig måte (sterke deriverte). Sobolev-rom er også viktige i det teoretiske grunnlaget for elementmetoden, som brukes for å finne numeriske løsninger av partielle differensialligninger.

Sobolev-rom tilordnes en norm definert som en sum av $L^{p}$-normen av funksjonen i seg selv og dens (svake) deriverte. Et Sobolev-rom er dermed et normert rom, og også komplett, hvilket gjør det til et Banach-rom. For $p=2$, altså der funksjonene og deres deriverte er $L^{2}$-funksjoner, er det også et indreproduktrom og dermed et Hilbert-rom. Sobolev-rom er oppkalt etter den russiske matematikeren Sergei Sobolev.

Definisjon

La $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ for $n\geq 1$, $s$ et ikke-negativt heltall og $p$ et tall slik at $1\leq p\leq \infty$. Sobolev-rommet $W^{k,p}(\Omega )$ består av alle lokalt deriverbare funksjoner $u:\Omega \to \mathbb {R}$ slik at for alle multiindekser $\alpha$ slik at $|\alpha |\leq k$, eksisterer de (svake) deriverte $D^{\alpha }u$ og tilhører $L^{p}(\Omega )$.

Dersom $u\in W^{k,p}(\Omega )$ definerer vi den tilhørende normen til å være

$||u||_{W^{k,p}(\Omega )}={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leq k}{\Big (}\int _{\Omega }|D^{\alpha }u|^{p}dx{\Big )}^{1/p}\qquad {\text{hvis }}1\leq p<\infty \\\sum _{|\alpha |\leq k}\operatorname {ess} \sup _{\Omega }|D^{\alpha }u|\qquad {\text{hvis }}p=\infty \end{cases}}$

der

$D^{\alpha }={\frac {\partial u^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}...\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$

for en vektor $\alpha =(\alpha _{1},...\alpha _{n})$ der hver indeks igjen er et ikke-negativt heltall og $\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\leq k$.

Normen over er ekvivalent med normen

$||u||_{W^{k,p}(\Omega )}=\sum _{|\alpha |\leq k}||D^{\alpha }||_{L^{p}(\Omega )}$

for $1\leq p\leq \infty$.

Egenskaper

Lineære egenskaper

La $u,v\in W^{k,p}(\Omega )$, og $|\alpha |\leq k$. Da gjelder

1. $D^{\alpha }u\in W^{k-|\alpha |,p}(\Omega )$
2. $D^{\beta }(D^{\gamma }u)=D^{\gamma }(D^{\beta }u)=D^{\gamma +\beta }u$ dersom $\beta$ og $\gamma$ er multiindekser slik at $|\beta |+|\gamma |\leq k$
3. Hvis $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$ er også $\lambda u+\mu v\in W^{k,p}(\Omega )$
4. Hvis $\lambda ,\mu \in \mathbb {R}$ er $D^{\alpha }(\lambda u+\mu v)=\lambda D^{\alpha }(u)+\mu D^{\alpha }v$
5. Hvis $A$ er en åpen delmengde av $\Omega$ er $u\in W^{k,p}(A)$
6. Dersom $f\in C_{c}^{\infty }(U)$ (mengden av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte i U) er også $fu\in W^{k,p}(\Omega )$, og

   $D^{\alpha }(fu)=\sum _{\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }D^{\beta }fD^{\alpha -\beta }u$ (Leibniz' formel).

Kompletthet

For enhver $k=1,2,...$ er Sobolev-rommet $W^{k,p}(\Omega )$ komplett, og dermed et Banach-rom.

Utvidelser

Under visse betingelser kan funksjoner i et Sobolev-rom $W^{1,p}(\Omega )$, der $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ utvides til å også være funksjoner i Sobolev-rommet $W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})$, altså fra en begrenset mengde til en ubegrenset mengde. Disse betingelsene er gitt i utvidelsesteoremet, og er nødvendig for å bevise flere av Sobolev-ulikhetene.

Utvidelsesteoremet

Dersom $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ er begrenset og randen $\partial \Omega$ er kontinuerlig (i $C^{1}$). Da finnes det en begrenset lineær operator E

$E:W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})$

slik at for enhver $u\in W^{1,p}(\Omega )$, er

$Eu=u$ nesten overalt i $\Omega$,

og

$||Eu||_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C||u||_{W^{1,p}(\Omega )}$

der $C$ er en konstant avhengig av $p$ og $\Omega$. E kalles for utvidelsen av $u$ til $\mathbb {R} ^{n}$.

Traser

I flere tilfeller er det interessant å studere randen av $\Omega$, og (hvis de ikke allerede er definert) tilordne verdier til u langs denne. Dersom u er kontinuerlig i ${\overline {\Omega }}$ (tillukningen av den åpne mengden $\Omega$) har den allerede slike verdier; en generell $u\in W^{1,p}(\Omega )$ kan imidlertid generelt være diskontinuerlig, og vil heller ikke nødvendigvis være definert på (hele) randen. Som for utvidelser kan man gjøre dette under visse (lignende) betingelser.

Traseteoremet

Anta at $1\leq p<\infty$, og at $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ er begrenset og at randen $\partial \Omega$ er kontinuerlig (i $C^{1}$). Da finnes det en begrenset lineær operator

$T:W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )$

slik at

1. $Tu=u|_{\partial U}$ dersom $u\in C({\overline {\Omega }})$

og

1. $||Tu||_{L^{p}(\partial U)}\leq C||u||_{W^{1,p}(\Omega )}$

for alle $u\in W^{1,p}(\Omega )$, der C er en konstant avhengig av $p$ og $\Omega$. T kalles for sporet til $u$ på $\partial \Omega$.

Sporet T er altså sammenfallende med verdiene u allerede har dersom u er kontinuerlig i tillukningen av $\Omega$, og normen er begrenset oppad av en konstant multiplisert med normen til u i $W^{1,p}(\Omega )$.

Traser med verdi 0

Anta at $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ er begrenset og at randen $\partial \Omega$ er kontinuerlig (i $C^{1}$), samt at $u\in W^{1,p}(\Omega )$. Da er

$u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )$ hvis og bare hvis $Tu=0$ på $\partial \Omega$.

Her betegner $W_{0}^{1,p}(\Omega )$ mengden av alle funksjoner $u\in W^{1,p}(\Omega )$ som er slik at det finnes en følge $\{u_{m}\}_{m=1}^{\infty }$ av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte ($u_{m}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )$ for alle m) som konvergerer til $u$ med hensyn på normen $||\cdot ||_{W^{1,p}(\Omega )}$.

Sobolev-ulikhetene

Sobolev-ulikhetene er en klasse ulikheter som beskriver hvordan relasjonen mellom n, p og k sier noe om hvilke Sobolev-rom som er inneholdt i andre Sobolev- og $L^{p}$-rom.

For $1\leq p<n$ kan man definere den Sobolev-konjugerte av p til å være

$p^{*}:={\frac {np}{n-p}}$

hvilket brukes gjennomgående i flere av ulikhetene under.

For to Banach-rom $X,Y$ slik at $X\subset Y$ sier vi at X er kompakt embeddet i Y dersom

1. $||u||_{y}\leq C||u||_{X}$ for alle $u\in X$, for en konstant $C$, og
2. for hver begrenset følge $\{u_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ i X har denne en konvergent delfølge:

   $\lim _{j\to \infty }||u_{k_{j}}-u||_{Y}=0$.

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten

Anta at $1\leq p<n$. Da finnes en konstant C (kun) avhengig av p og n slik at

$||u||_{L^{p*}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C||Du||_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$

for alle $u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$.

Her betegner $C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ rommet av alle kontinuerlige funksjoner $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ med kompakt støtte. Denne ulikheten ble bevist for $1<p<\infty$ av Sergei Sobolev, og for $p=1$ både av Emilio Gagliardo og Louis Nirenberg (uavhengig av hverandre).

Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten impliserer at dersom $u\in W^{1,p}(\Omega )$ er slik at $Du=0$ nesten overalt i $\Omega$, så er også $u=0$ nesten overalt i $\Omega$. Videre impliserer det også at for alle $q\in [1,p*]$ gjelder ulikheten

$||u||_{L^{q}(\Omega )}\leq C||Du||_{L^{p}(\Omega )}$

der C er en konstant (kun) avhengig av $p$, $q$, $n$ og $|\Omega |$.

Morreys ulikhet

Anta at $n<p<\infty$. Da finnes det en konstant C, avhengig av (kun) p og n, slik at

$||u||_{C^{0,\gamma }(\mathbb {R} ^{n})}\leq C||u||_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

for alle $u\in C^{1}(\mathbb {R} )$, der $||\cdot ||_{C^{0,\gamma }}$ angir Hölder-normen med eksponent $\gamma$, og $\gamma$ er gitt ved

$\gamma :=1-{\frac {n}{p}}$.

Hvis $u\in W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})$, så er $u$ altså også Hölder-kontinuerlig med eksponent $\gamma$, gitt at man eventuelt tilordner verdier ti l $u$ over en mengde med mål 0.

Rellichs og Kondrachovs kompakthetsteorem

Anta at U er en begrenset, åpen delmengde av $\mathbb {R} ^{n}$ og at randen $\partial U$ er kontinuerlig. Anta videre at $1\leq p<n$. Da er $W^{1,p}(U)$ en kompakt embeddet i $L^{p}(U)$ for alle $q\in [1,p^{*})$.

Litteratur

• Lawrence C. Evans (2010). Partial Differential Equations. 19 (2 utg.). USA: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4974-3. 
• Juha Kinnunen (2020). «Sobolev spaces» (PDF). Besøkt 13. mai 2020.