Simpson-integrasjon

Simpson-approksimasjonen består i å erstatte funksjonen y = f(x) (blå) med en parabelbuei (rød) i hvert lite intervall.

Simpson-integrasjon er en metode i numerisk analyse til beregning av den tilnærmete verdien for det bestemte integralet av en funksjon. Approksimasjonen består i å utføre integrasjonen over like store intervaller hvor funksjonen erstattes med parabelbuer som går gjennom intervallenes midt- og endepunkt.

Metoden har fått sitt navn etter den engelske matematiker Thomas Simpson som beskrev den på 1700-tallet. Men dens opphav går lenger tilbake. Vel hundre år tidligere hadde Kepler gjort bruk av den til beregning av volumet til en tønne med vin. Han antok at den krumme veggen til tønnen kunne beskrives som del av en parabel. På tysk omtales derfor denne integrasjonsmetoden som Keplersche Fassregel (Keplers tønneregel).

Matematisk formulering

Forandrer funksjonen y = f(x) seg lite i det lukkete intervallet a ≤ x ≤ b, kan man erstatte den med kun en parabelbue. Denne har ligningen y = Ax² + Bx + C hvor de ukjente koeffisientene bestemmes ut fra kravet om at den skal gå gjennom endepunktene og midtpunktet m = (a + b)/2  til intervallet. Legges dette i punktet x = 0, finner man dermed for parabelen

$y={\Big (}{y_{0}-2y_{1}+y_{2} \over 2h^{2}}{\Big )}x^{2}+{\Big (}{y_{2}-y_{0} \over 2h}{\Big )}x+y_{1}$

hvor y₀ = f(a), y₁ = f(m) og y₂ = f(b). Kaller man lengden til intervallet b - a = 2h, fremkommer den tilnærmete verdien for integralet ved å integrere denne kvadratiske funksjonen fra -h  til +h. Det gir

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}(y_{0}+4y_{1}+y_{2})$

Når integrasjonen går over et vilkårlig stort intervall, kan dette deles opp i n mindre delintervall hvor man kan benytte dette resultatet. Ved å adderere disse bidragene, kommer man frem til formelen for Simpson-integrasjon i det generelle tilfellet,

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}(y_{0}+4y_{1}+2y_{2}+4y_{3}+\cdots +2y_{2n-2}+4y_{2n-1}+y_{2n})$

hvor nå lengden av et delintervall er 2h = (b - a)/n. Dette resultatet kan man også komme frem til etter en Richardson-ekstrapolasjon av den verdien som kommer frem ved trapesintegrasjon.

Nøyaktighet

Kalles den eksakte verdien av integralet for I  og Simpson-approksimasjonen for S, er feilen E = I - S  i tilnærmelsen

$E=-{h^{4} \over 180}(b-a)f^{(4)}(c)$

hvor c er et tall i intervallet mellom a og b. Approksimasjonen er derfor ikke bare eksakt for funksjoner som er polynom av andre grad, men også for tredjegradspolynom som har den fjerdederiverte f⁽⁴⁾ = 0. Generelt blir den bedre desto mindre intervallengden h er.