Primtall
Et primtall er et naturlig tall større enn 1, som bare er delelig med seg selv og 1. De første 30 primtallene (følge A000040 i OEIS) er:
- 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109 og 113.
Med unntak av tall under 10 vil alle primtall naturlig slutte på tallene 1, 3, 7 eller 9. Grunnen til dette er at alle partall kan deles på 2 og alle tall som slutter på 5 kan deles på 5.
Et naturlig tall større enn 1 som ikke er et primtall, kalles et sammensatt tall eller komposittall.
Primtall er et fundamentalt begrep innen tallteori. Ethvert positivt heltall større enn 1 kan skrives som et produkt av primtallsfaktorer på en entydig måte, såkalt primtallsfaktorisering. For eksempel er 60 = 2 × 2 × 3 × 5. Dette er kjent som aritmetikkens fundamentalteorem.
Euklid beviste at det finnes uendelig mange primtall. Beviset er et av de mest klassiske innen matematikken, og bruker bevismetoden reductio ad absurdum: Anta at det finnes et endelig antall primtall. La N være produktet av alle primtallene, og betrakt tallet N+1. Siden alle primtallene deler N, kan det ikke finnes noe primtall som N+1 er delelig med. Men siden N+1, ifølge antagelsen, er større enn alle primtall, kan det ikke selv være et primtall. Dette er en motsigelse. Konklusjonen må være at antagelsen som ble gått ut ifra, nemlig at det bare finnes ett endelig antall primtall, er gal. Altså finnes det et uendelig antall primtall.
Det største kjente primtallet per desember 2018 er 282 589 933-1, har 24 862 048 siffer, og er et såkalt Mersenne-primtall.[1] Electronic Frontier Foundation har delt ut pengepremier når primtall med flere enn en million og ti millioner siffer er funnet. Premier vil også bli utdelt til de som finner primtall med mer enn hundre millioner og tusen millioner siffer.[2]
Det finnes en rekke subgrupper av primtall:
Se også
[rediger | rediger kilde]- Eratosthenes' sil, en metode for å finne primtallene.
- Sammensatt tall
Referanser
[rediger | rediger kilde]- ^ «51st Known Mersenne Prime Discovered». www.mersenne.org. Besøkt 22. desember 2018.
- ^ Official EFF Cooperative Computing Award Rules Arkivert 28. desember 2009 hos Wayback Machine.
Eksterne lenker
[rediger | rediger kilde]- Primtallkalkulator
- Dagbladet.no - Matematikerne er sjokkerte etter funnet av skjult mønster i tallrekka - «Primtallenes sammensvergelse».