Polarkoordinatsystem

To punkter med tilhørende koordinatsett angitt med polarkoordinater

Et polarkoordinatsystem er et koordinatsystem hvor hvert punkt i et plan er bestemt ut ifra avstanden fra et gitt punkt (vanligvis origo) og vinkel i forhold til X-aksen. I et vanlig kartesisk koordinatsystem blir punktene bestemt ut ifra avstanden til hver koordinatakse.

Prinsippet i polarkoordinater er at man angir alle punkter ved hjelp av følgende informasjon:

• Punktets vinkel (grader eller radianer ) i forhold til hva man ville kalle x-aksen i et rektangulært koordinatsystem, θ.
• Punktets avstand fra origo, r.

Konvertering mellom polare og kartesiske koordinater

Et diagram som viser forholdet mellom polare og karteiske koordinater.

Omregning polarkoordinater til kartesiske koordinater kan gjøres ved:

$x=r\cos \theta \,$

$y=r\sin \theta ,\,$

Mens omregningen fra karteiske koordinater til poolarkoordinater kan gjøres ved:

$r={\sqrt {y^{2}+x^{2}}}\quad$ (Gitt ved Pythagoras’ læresetning), og

$\theta ={\begin{cases}0&{\mbox{hvis }}x=0{\mbox{ og }}y=0\\\arcsin({\frac {y}{r}})&{\mbox{hvis }}x\geq 0\\\arcsin({\frac {y}{r}})+\pi &{\mbox{hvis }}x<0\\\end{cases}}$

Alle disse formlene forutsetter at referansepunktet for polarkoordinatsystemet er origo. Arcsinfunksjonen er den inverse funksjonen til sinusfunksjonen og gir en løsning i intervallet [−π/2,+π/2], så formelen for θ vil gi en løsning i intervallet [−π/2,+π/2]. Dersom man vil finne θ i intervallet [0, 2π) kan man også bruke:

$\theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{hvis }}x>0{\mbox{ og }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\mbox{hvis }}x>0{\mbox{ og }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{hvis }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{hvis }}x=0{\mbox{ og }}y>0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\mbox{hvis }}x=0{\mbox{ og }}y<0\\0&{\mbox{hvis }}x=0{\mbox{ og }}y=0\end{cases}}$

Anvendelse av polarkoordinater

En sirkel

En ligning uttrykt i polarkoordinater er kjent som en polar ligning. Normalt er disse ligningene gitt ved å definere r som en funksjon av θ. Denne definisjonen gir visse fordeler i anvendelsen av polarkoordinater i forhold til hva man kan oppnå med rektangulære. Særlig fordelaktig er det å bruke polarkoordinater hvor det inngår noe sirkulært. Det enklest tenkelige eksempel er å fremstille en sirkel. Her er definisjonen av en sirkel med radius 1.

$\left.{\begin{matrix}x=r\cdot \cos \theta \\y=r\cdot \sin \theta \end{matrix}}\right\}\quad ,r=1\quad ,\quad \theta \in [0,2\pi ]$

Lengden til det bevegelige punktet, settes altså konstant til å være lik én, som altså er avstanden fra origo til periferien. Deretter settes vinkelen til å variere mellom 0 og 2π eksklusiv (eller 0 og 360° i vinkler), hvor hele sirklen er med.

Arkimedisk spiral

En arm av en arkimedisk spiral ligningen r(θ) = θ for 0 < θ < 6π

En arkimedisk spiral er en spiral som ble oppdaget av Arkimedes, som kan forklares med polarkoordinater. Spiralen har formelen

$r(\theta )=a+b\theta .\,$

Ved å forandre a vil spiralen skifte form, mens b er distansen mellom kurvene, som for en gitt spiral alltid er konstant. Den Arkimediske spiralen har to kurver, en for θ > 0 og en for θ < 0. De to kurvene starter i origo. Sett bort fra kjeglesnittene var denne kurven blant de første til å bli beskrevet. Kurven er også et godt eksempel på kurver som blir best beskrevet med polarkoordinater.

Polar rose

En polar rose med ligning: r(θ) = 2 sin 4θ

En polar rose er en matematisk kurve som ser ut som en blomst med kronblader, denne kan defineres som en enkel polar ligning.

$r(\theta )=a\cos(k\theta +\phi _{0})\,$

For enhver konstant $\phi _{0}$ (Inkludert 0). Dersom k er et heltall vil disse ligningene gi kurver hvor «blomsten» har k kronblader når k er et oddetall og 2k kronblader når k er et partall. Dersom k er et rasjonalt tall, men ikke et heltall vil man også få frem en blomst hvor kronbladene overlapper hverandre. Her må imidlertid definisjonsintervallet for kurven være større enn [0, 2π) for at «blomsten» skal bli komplett. Merk at det er umulig å definere en kurve hvor man får $4n+2$, hvor n er et heltall, kronblader. Variabelen a angir lengden på kronbladene.

Kjeglesnitt

Alle kjeglesnittene kan også uttrykkes ved hjelp av polarkoordinater gjennom formelen:

$r={p \over {1+e\cos \theta }}$

Hvor e er eksentrisiteten og p er semi latus rectum

Derson e > 1, vil ligningen gi en hyperbel; e = 1 gir en parabel mens e < 1 gir oss en ellipse. Spesialtilfellet e = 0 vil gi en sirkel mad radius p.

Anvendelse i tre dimensjoner

Polarkoordinater kan også anvendes til bruk i tre dimensjoner. Kulekoordinater og sylinderkoordinater inneholder begge polarkoordinatplanet, utvidet med en ekstra akse. De er viktige eksempel på mer generelle, krumlinjete koordinater.

Sylinderkoordinater

Punktet P plottet med sylinderkoordinater

Sylinderkoordinater systemet er en utvidelse av polarkoordinater med en ekstra z-akse, på samme måte som det kartesiske koordinatsytemet i tre dimensjoner. Den tredje koordinaten er vanligvis uttrykt med en h eller en z, som beskriver høyden til det øvre planet i sylinderen. Alle tre koordinatene blir da skrevet (r, θ, z).

Sammenhengen mellom de tre sylinderkoordinatene og de respektive kartesiske koordinatene blir

${\begin{aligned}x&=r\,\cos \theta \\y&=r\,\sin \theta \\z&=z.\end{aligned}}$

Kulekoordinater

Punktet P angitt ved kulekoordinater.

Kulekoordinatsystemet er et koordinatsystem basert på polarkoordinater. Kulekoordinater skiller seg fra polarkoordinater ved at høyden fra xy-planet blir beskrevet av en vinkel φ fra z-aksen. Avstanden fra origo er ρ slik at radien i xy-planet blir r = ρ sinφ. Vinkelen φ varierer med en størrelsene 0°-180° eller 0-π radianer. De tre koordinatene blir da skrevet (ρ, θ, φ).

Sammenhengen mellom de tre kulekoordinatene og de respektive kartesiske koordinatene er dermed

${\begin{aligned}x&=\rho \,\sin \varphi \,\cos \theta \\y&=\rho \,\sin \varphi \,\sin \theta \\z&=\rho \,\cos \varphi .\end{aligned}}$

Betegnelsene for disse tre koordinatene varierer. I fysikk og mer praktiske anvendelser er det vanlig å bytte navnene til de to vinklene. Ofte blir også avstanden fra origo gitt ved r i stedet for ρ slik at de kartesiske koordinatene kan skrives som

${\begin{aligned}x&=r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\y&=r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\z&=r\,\cos \theta .\end{aligned}}$

Litteratur

• J. Mathews and R.L. Walker, Mathematical Methods of Physics, W.A. Benjamin, New York (1970). ISBN 0-8053-7002-1.
• M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.