London-ligningen

London-ligningen beskriver egenskapene til magnetfeltet i en superleder. Spesielt forklarer den Meissner-effekten der et ytre magnetfelt under en kritisk temperatur tvinges ut av dens indre. Ligningen inneholder bare en parameter som er «penetrasjonsdybden» λ og angir hvor langt magnetfeltet kan trenge inn i superlederen. Denne fenomenologske beskrivelsen kan utledes fra den senere mer velfunderte Ginzburg-Landau-teorien.

Ligningen ble funnet av brødrene Fritz og Heinz London i 1935 mens de var i Oxford etter å ha flyktet fra Tyskland.

Utledning

Da det var kjent at superledning først opptrer under en viss, kritisk temperatur, var det nærliggende å tro at fenomenet hadde noen felles trekk med Bose-Einstein-kondensasjon. Selv om elektronene i et metal er fermioner og ikke bosoner, tenkte man seg likevel at en del av disse med tetthet n_s kunne danne et superledende kondensat. Over den kritiske temperaturen er denne lik null, mens for lavere temperaturer er n_s > 0 og materialet er superledende.

Kondensatet er antatt å bestå av ladningsbærere med masse m og elektrisk ladning q. De beveger seg i et magnetfelt som alltid kan uttrykkes ved vektorpotensialet A ved den fundamentale sammenhengen B = ∇ × A. Den sier at de magnetiske feltlinjene er lukkete kurver. Fra klassisk mekanikk vil hver slik partikkel i dette feltet ha en hastighet v og impuls p som er forbundet ved relasjonen p = m v + q A som følger fra elektromagnetisk gaugeinvarians.

Bevegelsen til de superledende partiklene i kondensatet gir opphav til en elektrisk strømtetthet J_s = qn_s v. London-ligningen kommer nå frem ved å anta at i et uniformt kondensat må partiklene ha impulsen p som også gjelder for partiklene i et Bose-Einstein-kondensat. Dermed har man sammenhengen

$\mathbf {J} _{s}=-{n_{s}q^{2} \over m}\mathbf {A}$

som gir opphav til ligningen. På denne formen er den ikke gaugeinvariant, men bare for vektorpotensial som oppfyller betingelsen ∇⋅A = 0. Vanligvis sier man at dette tilsvarer å benytte Coulomb-gauge, men ved utledningen her kalles betingelsen likså ofte for bruk av «London-gauge». Uansett skyldes den at strømmen må tilfredsstille ∇⋅J = 0 som følger fra kontinuitetsligningen under stasjonære forhold.

London-ligningen på denne formen kommer frem på samme form fra den mer velbegrunnete Ginzburg-Landau-teorien og har derfor en gyldighet utover de enkle antagelsene gjort i denne utledningen. Den er også derfor konsistent med den mer fundamentale BCS-teorien hvorav det fremgår at de superledende ladningsbærerne er Cooper-par med tetthet n_s bestående av to elektroner slik at ladningen q = 2e.

Formulert som differensialligning

Ligningen kan formuleres for magnetfeltet alene ved å bruke Ampères sirkulasjonslov ∇ × B = μ₀J_s når man benytter SI-systemet hvor μ₀ er den magnetiske konstanten. Tar man nå curl av London-ligningen og benytter fra vektoranalysen identiteten ∇ ×(∇ × B) = ∇ (∇⋅B) - ∇² B, fremkommer differensialligningen

$\nabla ^{2}\mathbf {B} ={1 \over \lambda ^{2}}\mathbf {B}$

da ∇⋅B = 0 gjelder alltid. Her er inngår parameteren λ² = m/μ₀n_sq² som omtales som «penetrasjonslengden». Den sier hvor langt magnetfeltet kan trenge inn i en superleder. Når temperaturen øker og nærmer seg den kritiske verdien, vil n_s → 0. Det betyr at da vil λ → ∞ og magnetfeltet kan da gå gjennom hele superlederen. Det er da ingen Meissner-effekt, og superlederen er gått over i den normale fasen.

Enkel anvendelse

Man tenker seg en superleder som fyller rommet x > 0 som ellers består av et normalt materiale eller luft. Hele systemet befinner seg i et ytre magnetfelt som man kan anta er parallelt med z-aksen. Dette har en størrelse B₀ i området x < 0 utenfor superlederen. Inni denne forenkles nå London-ligningen til

${d^{2}B \over dx^{2}}={B \over \lambda ^{2}}$

Den eneste løsningen som er kompatibel med de gitte gremnsebetingelsene, er

$B(x)=B_{0}e^{-x/\lambda }$

Magnetfelt inni superlederen går derfor mot null i avstander fra overflaten som er mye større en penetrasjonslengden λ. Dette er Meissner-effekten.

Litteratur

• F. London and H. London, The Electromagnetic Equations of the Supraconductor, Proc. Roy. Soc. London, Ser. A 149 (866), 71-88 (1935).
• M. Tinkham, Introduction to Superconductivity, Dover Books, New York (2004). ISBN 978-0-486-43503-9.

Autoritetsdata