Lipschitz-kontinuitet

For en Lipschitz-kontinuerlig reell endimensjonal funksjon eksisterer det en dobbel kjegle (hvitt område) slik at midtpunktet kan flyttes langs grafen, slik at alle funksjonsverdier grafen tar alltid er utenfor det hvite området.

Lipschitz-kontinuitet angir en form for kontinuitet innen matematisk analyse, strengere enn uniform kontinuitet og intuitivt en begrensning på hvor raskt en funksjon kan endre seg. En funksjon sies å være Lipschitz-kontinuerlig dersom det finnes et reelt tall slik at, for hvert par (x, y) i funksjonens definisjonsmengde, er absoluttverdien av forskjellen mellom avbildningen av disse ganget med konstanten større enn absoluttverdien mellom punktene x og y. Begrepet er oppkalt etter den tyske matematikeren Rudolf Lipschitz.

En deriverbar funksjon er alltid Lipschitz-kontinuerlig, og en Lipschitz-kontinuerlig funksjon er alltid (uniformt) kontinuerlig. Det motsatte er ikke nødvendigvis sant; en funksjon kan være (uniformt) kontinuerlig uten å være Lipschitz-kontinuerlig, og en funksjon kan være Lipschitz-kontinuerlig uten å være deriverbar. Lipschitz-kontinuitet kan generaliseres til Hölder-kontinuitet.

Definisjon

En funksjon $f:X\to Y$, der X og Y er delmengder av de relle tallene, sies å være Lipschitz-kontinuerlig (eller å være en Lipschitz-funksjon) dersom det finnes en konstant $C$ slik at

$|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|$

Dersom det finnes en slik C, kalles denne for en Lipschitz-konstant for funksjonen f. Denne betingelsen kalles for Lipschitz-betingelsen.

Dette gjelder også i andre metriske rom enn de reelle tallene. Gitt to metriske rom $(X,d_{X})$ og $(Y,d_{Y})$, der $d_{X}$ og $d_{Y}$ angir metrikkene på henholdsvis mengdene X og Y, sier man at en funksjon $f:X\to Y$ Lipschitz-kontinuerlig (eller at f er en Lipschitz-funksjon) dersom det finnes en konstant C slik at

$d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Cd_{X}(x_{1},x_{2})$

Dersom betingelsen holder i en omegn rundt en $x\in X$ sier man at funksjonen er lokalt Lipschitz-kontinuerlig.

Klassen av alle Lipschitz-kontinuerlige funksjoner over et intervall $I$ angis av

$Lip(I)=\{f:I\to \mathbb {R} |f{\text{ er Lipschitz-kontinuerlig}}\}$

og for generelle metriske rom kan dette analogt defineres som

$Lip(X)=\{f:X\to Y|f{\text{ er Lipschitz-kontinuerlig}}\}$.

Eksempler

Lipschitz-kontinuerlige funksjoner

• Funksjonen $f(x)=2x$ er Lipschitz-kontinuerlig, siden

$|f(x)-f(y)|=|2x-2y|=2|x-y|\leq 2|x-y|$

for alle $x,y\in \mathbb {R}$ (alle lineære funksjoner er Lipscitz-kontinuerlige).

• Funksjonen $f(x)=\sin(x)$ er Lipschitz-kontinuerlig, siden sinus er kontinuerlig, og ved middelverdisetningen finnes en $c\in (x,y)$ slik at

$f'(c)={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\Rightarrow |f(x)-f(y)|=|f'(c)||x-y|$

Siden $f'(x)=\cos(x)$ som er bundet ovenifra av 1, vil dette si at

$|\sin(x)-\sin(y)|=|\cos(c)||x-y|\leq 1|x-y|$.

Funksjonen $f(x)={\sqrt {(}}x)$ er ikke Lipschitz-kontinuerlig over hele $\mathbb {R}$, siden den blir uendelig bratt når x går mot 0.

Funksjoner som ikke er Lipschitz-kontinuerlige

• Funksjonen $f(x)=x^{2}$ er ikke Lipschitz-kontinuerlig over hele $\mathbb {R}$, siden man alltid kan finne tall (x, y) som gjør at betingelsen ikke holder.
• Funksjonen $f(x)={\sqrt {x}}$ er ikke Lipschitz-kontinuerlig siden den blir uendelig bratt når x går mot 0. Hvis man antar (for motsigelse) at det finnes en konstant $C$, kan man se på en følge ${x_{n}}$ som går mot 0, bruke middelverdisetningen og vise at funksjonen er større enn noe som går mot uendelig.

Egenskaper

• Alle lineære funksjoner $f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ er Lipschitz-kontinuerlige.
• Dersom $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ er Lipschitz-kontinuerlig, avbilder den alle mengder med mål 0 til mengder med mål 0, og alle målbare mengder til målbare mengder.
• Dersom $f:I\to \mathbb {R}$, der $I$ er et intervall i $\mathbb {R}$ er deriverbar over $I$, der $f'$ er bundet over $I$, er f Lipschitz-kontinuerlig; dette følger av middelverdisetningen.
• Dersom $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ er deriverbar med kontinuerlig derivert, altså $f\in C^{1}([a,b])$, er f Lipschitz-kontinuerlig over $[a,b]$ ($f\in Lip([a,b])$). Videre, dersom $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ er Lipschitz-kontinuerlig, er f en absolutt kontinuerlig funksjon over $[a,b]$ ($f\in AC([a,b])$). Dersom $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ er absolutt kontinuerlig, er f en funksjon med avgrenset variasjon over $[a,b]$ ($f\in BV([a,b])$). Vi har altså at

$C^{1}([a,b])\subseteq Lip([a,b])\subseteq AC([a,b])\subseteq BV([a,b])$

• (Rademachers teorem) Lipschitz-kontinuerlige funksjoner er deriverbare nesten overalt.
• (McShanes, eller McShane-Whitneys utvidelsesteorem) Dersom $f:X\to \mathbb {R}$ er Lipschitz-kontinuerlig med Lipschitz-konstant C, og $X\subset \mathbb {R}$, så finnes det en funksjon $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ slik at $g_{X}$ (g definert over definisjonsmengden X) er lik $f$. Resultatet kan ikke generaliseres til alle metriske rom, for eksempel ikke for X delmengde av ℓ², rommet av alle kvadratisk summerbare følger.
• (Kirszbrauns teorem) Det samme gjelder i flere dimensjoner – dersom $f:X\to \mathbb {R} ^{n}$ er Lipschitz-kontinuerlig med Lipschitz-konstant C, og $X\subset \mathbb {R} ^{m}$, så finnes det en funksjon $g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ slik at $g_{X}$ (g definert over definisjonsmengden X) er lik $f$.

Eksterne lenker

• (en) Eric W. Weisstein, Lipschitz Function i MathWorld.
• (en) Eric W. Weisstein, Lipschitz Condition i MathWorld.
• Lipschitz condition på Encyclopedia of Mathematics
• Lipschitz constant på Encyclopedia of Mathematics