Invers funksjon

En invers funksjon eller en omvendt funksjon er en funksjon som «opphever virkningen av» en annen funksjon. Mer presist uttrykt er to funksjoner f og g inverse hvis og bare hvis

y=f(x)

og

x=g(y)

for alle x, y i domenet til henholdsvis x og y. Vi uttrykker det inverse forholdet med:

g=f^{-1}

Uttrykket må ikke forveksles med $1/f$

En funksjon har en invers hvis og bare hvis den er bijektiv. Hvis den finnes, er den unik. En funksjon som har en invers, sies å være inverterbar. Begrepet «invers» ble først brukt på 1900-tallet i en tekst av James Pierpont.^[1]

Egenskaper

Definisjonsområder

Dersom $f$ er en inverterbar funksjon med domene $X$ og kodomene $Y$ , vil den inverse funksjonen av f ha domene $Y$ og kodomene $X$ :

f:X\to Y

og

f^{-1}:Y\to X

De sammensatte funksjonene $f^{1}\circ f$ og $f\circ f^{-1}$ er like identitetsfunksjonen definert over domenet X og Y respektivt:

f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}

og

f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.

Eksistens

En funksjon $f:X\to Y$ har en invers hvis og bare hvis den er bijektiv. Dette følger av at dersom den har en invers, vil den være surjektiv og injektiv:

Dersom $f$ har en invers $f^{-1}$ , så vil for enhver $y\in Yf^{-1}(y)=x$ , slik at $f(x)=y$ , altså er f surjektiv
Dersom $f(x)=f(y)$ og f har en invers $f^{-1}$ , så er $f^{-1}\circ f(x)=f^{-1}\circ f(y)$ , altså er $x=y$ og f er injektiv

Motsatt vil en bijektiv funksjon alltid ha en invers:

Dersom $f$ er bijektiv, og $y\in Y$ , vil det finnes én og bare én $x\in X$ slik at $f(x)=y$ . Altså kan man definere en funksjon $f^{-1}$ slik at $f^{-1}(y)=x$ for enhver $y\in Y$ , som vil være en invers av f.^[2]