Hall-effekt

Hall-effekten arter seg som en spenning U_H  på tvers av den påtrykte strømmen I og det ytre magnetfeltet B.

Hall-effekt er en elektrisk spenning som oppstår i et strømførende materiale som befinner seg i et magnetfelt. Den skyldes at den elektriske strømmen påvirkes av Lorentz-kraften fra magnetfeltet slik at det bygger seg opp en ladningsforskjell i lederen og dermed et elektrisk felt på tvers av den gitte strømretningen.

Når magnetfeltet B står vinkelrett på en plan, elektrisk leder med tykkelse a og som fører strømmen I, kan Hall-spenningen skrives som

$U_{H}=R_{H}{IB \over a}$

der R_H  kalles Hall-koeffisienten. Den er bestemt ved egenskaper til materialet i lederen og kan variere med temperaturen. Koeffisienten må ikke forveksles med Hall-motstanden R_xy = U_H /I som er en elektrisk motstand karakteristisk for effekten. Når Hall-koeffisienten er konstant, vil Hall-motstanden øke proporsjonalt med magnetfeltet.

Effekten ble oppdaget av Edwin Hall i 1879 da han ville undersøke hvordan et magnetfelt kunne påvirke den elektriske ledningsevnen til materialer. Siden er den blitt praktisk viktig for måling av styrken til magnetfelt. I det omvendte tilfellet når styrken av dette er kjent, kan den benyttes til å skaffe seg et bilde av hvordan den mikroskopiske ladningstransporten foregår i materialet.

Spesielt stor interesse har Hall-effekten hatt etter 1980 da den tyske fysiker Klaus von Klitzing oppdaget at Hall-motstanden antar spesielle, diskrete verdier ved lave temperaturer og sterke magnetfelt. Dette fenomenet skyldes kvantemekanikken og omtales i dag som den kvantiserte Hall-effekten. Den har i dag stor teoretisk og praktisk betydning.

Elektrisk strøm i magnetfelt

Den klassiske Hall-effekten kan forklares i Drude-modellen for ladningstransport i elektriske ledere. I det enkleste tilfelle antar man at den skyldes ladningsbærere med ladning q og tetthet n som beveger seg med driftshastigheten v. Det resulterer i en strømtetthet av størrelse J = qn v. Hvis denne strømmen befinner seg i et magnetfelt B, vil hver ladningsbærer bli utsatt for den magnetiske Lorentz-kraften F = q v×B som tvinger ladningen bort i en retning vinkelrett både til J og B.

Hall-effekt sett ovenfra (venstre) og fra siden (høyre). Den elektriske kraften F_e skyldes ladninger på sidene og balanserer den magnetiske kraften F_m. Hall-spenningen V_Hall  er transvers både til strømmen I  og magnetfeltet B.

Hvis den plane lederen ligger i xy-planet og B-feltet normalt til dette, vil Lorentz-kraften skyve ladningene i den negative y-retningen. Det medfører at et ladningsunderskudd oppstår på den motsatte siden og bygger opp et elektrisk felt E i denne retningen. Når dette har økt til å gi en like stor elektrisk kraft q E som Lorentz-kraften, vil ladningstransporten i x-retning fortsette uhindret. Det skjer derfor når størrelsen til det elektriske feltet er blitt E_y = v_xB eller

$E_{y}={1 \over nq}J_{x}B$

Hvis lederen har bredde b, er den tilsvarende Hall-spenningen U_H = E_y b. Da kan strømtettheten også uttrykkes ved den totale strømmen I = J_x ab der a er tykkelsen til lederen. Den klassiske verdien til Hall-koeffisienten er derfor

$R_{H}={1 \over nq}$

og er uavhengig av magnetfeltet. På samme måte er også den elektriske motstanden i strømretningen uavhengig av dette. I denne beskrivelsen av Hall-effekten er det derfor ikke noen magnetoresistans. Hall-motstanden kan nå skrives som R_xy = B /nqa og øker proporsjonalt med magnetfeltet B i denne klassiske teorien.

I metaller skjer ladningstransporten ved flytting av elektroner. Ladningen q er derfor negativ slik at Hall-koeffisienten forventes å være negativ. Det er også i overensstemmelse med målinger. Men det finnes unntak, som for eksempel for sink Zn. Det kan forklares ved en mer komplisert ladningstransport i dette metallet enn antatt i den klassiske Drude-modellen basert på frie elektroner. Siden elektronets ladning er kjent, vil en måling av Hall-effekten gi direkte informasjon om tettheten n i lederen.

Mer generelt i halvledere kan ladningstransporten i tillegg forgå ved transport av hull med motsatt ladning enn elektronet. Her består ladningstransporten derfor av to komponenter slik at uttrykket for Hall-koeffisientene blir mer komplisert.

Kvantisert Hall-effekt

Utdypende artikkel: Kvantisert Hall-effekt

Ved den heltallig QHE varierer Hall-motstanden ρ_xy i veldefinerte stepp som blir jevnt mindre og forsvinner i den klassiske grensen der magnetfeltet B blir svakere.

I tynne skikt mellom halvledere som ble kjølt ned til lave temperaturer og utsatt for meget sterke magnetfelt, viser Hall-motstanden et klart avvik fra å være proporsjonal med dette feltet slik som det er forventet i den klassiske Drude-modellen. Derimot varierer den i klare stepp med verdier som kan skrives på den enkle formen R_xy = R_K/ν hvor

$R_{K}={h \over e^{2}}=25812,807\ 4555(59){\text{ohm}}$

er von Klitzings konstant. Dens meget presise verdi er uavhengig av materialets egenskaper. Den inneholder Plancks konstant h og ν er et helt tall (1, 2, 3, . .) eller en brøk (1/3, 2/5, 3/7, . .). Dette fenomenet kalles nå for den kvantiserte Hall-effekten som fra engelsk betegnes med QHE. I det første tilfellet dreier det seg om en heltallig QHE eller IQHE, mens for rasjonelle verdier av ν har man en fraksjonell QHE eller FQHE.

Forklaringen av denne effekten kan finnes i kvantemekanikken. Under de forholdene som eksistrerer ved disse målingene vil elektronene i halvledersjiktet bevege seg kun i to dimensjoner. Det sterke magnetfeltet vil føre til at hver av dem utfører en syklotronbevegelse rundt en sirkel med senter i planet. På grunn av Paulis eksklusjonsprinsipp vil hver slik bane kun inneholde et elektron hvis man ser bort fra dets spinn. Antall elektroner som kan delta i ladningstransporten er da lik med antall slike syklotronbaner. Ved bruk av Landau-kvantisering gir det en ladningstetthet som er et helt multiplum ν av eB/h. I den klassiske grensen h → 0 vil derfor heltallet ν bli stort.

Da Hall-motstanden kan skrives som R_xy = B /nea hvor na er den todimensjonale tettheten av elektroner i grensen der tykkelsen a blir veldig liten, tar denne derfor verdiene R_xy = h/νe². Dette gir en grov forklaring av den heltallige, kvantiserte Hall-effekten IQHE. Men det overraskende er hvorfor en slik enkel beskrivelse kan gi et slikt numerisk korrekt resultat.

Den fraksjonelle Hall-effekten er ikke like godt forstått. Spesielt er spørsmålet om hvilke brøker ν som kan opptre, ennå uavklart. Men den avgjørende forskjellen fra IQHE er at for FQHE spiller Coulomb-kraften mellom elektrone en avgjørende rolle.