Finstrukturkonstant

Byste av Sommerfeld ved LMU-Universitetet i München. Under er formelen for finstrukturkonstanten skrevet i det Gaussiske målsystemet.

Finstrukturkonstanten, vanligvis betegnet ved den greske bokstaven alfa, er en dimensjonsløs fysisk konstant som angir størrelsen til elektromagnetiske vekselvirkninger mellom elementærpartikler. Med god nøyaktighet er dens numeriske verdi α = 1/137. Den ble innført av den tyske fysiker Arnold Sommerfeld i 1916 for å forklare finstruktur i atomspektra.

Den er koblingskonstanten i kvanteelektrodynamikk hvor den gir størrelsen på korreksjonene til klassisk elektrodynamikk som skyldes kvanteeffekter. I Standardmodellen inngår den sammen med tre andre, tilsvarende fundamentale koblingskonstanter.

Definisjon

Sommerfeld definerte finstrukturkonstanten som forholdet mellom hastigheten til et elektron i laveste bane av et H-atom i Bohrs atommodell og lyshastigheten. Det betyr at

$\alpha ={e^{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}$

i det vanlige SI-målesystemet hvor ħ = h/2π  er den reduserte Planck-konstanten og c er lyshastigheten. Mer generelt kan den skrives som α = k_e⋅e²/ħc  hvor k_e  er Coulomb-konstanten. Den blir da spesielt enkel i det Gaussiske målsystemet hvor denne er satt lik med 1.

Definisjonen til Sommerfeld var basert på at den observerte finstrukturen skyldes relativistiske effekter forårsaket av den store hastigheten til elektronet i sin bane rundt atomkjernen. På den tiden var dette beskrevet ved Bohrs atommodell hvor elektronene beveget seg i kvantiserte, men sirkulære baner beskrevet ved klassisk mekanikk. Newtons andre lov sier da at sentripetalakselerasjonen mv²/r  til et elektron må være lik med Coulomb-kraften e²/4πε₀r²  i H-atomet. Kvantisering av bevegelsen betyr at dreieimpulsen L = mvr  kan bare ta de diskrete verdiene nħ  hvor kvantetallet n = 1,2,3,... bestemmer størrelsen til banen. Den innerste banen har n = 1 som betyr at elektronet i denne banen har hastigheten v = e²/4πε₀ħ. Relativt til lyshastigheten er da denne finstrukturkonstanten α = v/c.

Bohrs atommodell ble etter noen år erstattet med kvantemekanikken som gir et ganske annet bilde av atomene. Man kan ikke lenger snakke om veldefinerte, klassiske baner med gitte radier og hastigheter. I tillegg har elektronet i laveste energinivå til H-atomet den kvantiserte dreieimpulsen L = 0. Men samtidig ble det nå mulig å beregne nøyaktig finstrukturen i atomspektrene med det resultat at Sommerfelds konstant opptrådde omtrent på samme måte som i den semi-klassiske Bohr-modellen. Derfor har hans definsjon av denne naturkonstanten blitt stående.

Eksperimentell verdi

To Feynman-diagram som viser kobling av et foton til et elektron.

Størrelsen til finstrukturkonstanten ble første bestemt med god nøyaktighet fra Rydberg-konstanten som ga en verdi nær α = 1/137. En mer nøyaktig verdi fulgte etter at kvantemekanikk ble benyttet til beregning av finstruktur i spektrallinjer fra forskjellige atomer.

Men det var først ved etableringen av kvanteelektrodynamikk og bruk av nye, eksperimentelle teknikker at den største fremgangen ble gjort. Elektronets elektriske ladning e  sier hvor sterkt det kobler til et foton. Denne koblingen gir også modifikasjoner av verdien til elektronets magnetiske moment μ_e. Den første av disse kvantekorreksjone ble beregnet av Schwinger i 1948 med resultatet

$\mu _{e}=\mu _{B}{\big (}1+{\alpha \over 2\pi }{\big )}$

Her er μ_B  en Bohr-magneton som er verdien som følger direkte fra Dirac-ligningen. Siden er disse beregningene gjennomført til orden α⁵ og tilsvarende for muonet. Disse magnetiske momentene lar seg også måle med stor presisjon.

En alternativ måte å bestemme finstrukturkonstanten kom med oppdagelsen av kvante-Hall-effektenen. Den elektriske motstanden i dette systemet viste seg å være kvantiserte i enheter av h/e² = 25812.807 Ohm. Siden denne størrelsen bare skiller seg fra finstrukturkonstanten gjennom den definerte lyshastigheten c = 299 792 458 m/s og konvensjonen μ₀/4π = 10^-7 N/A², kan disse nye målingene også benyttes til å bestemme α. Det kombinerte resultatet av disse forskjellige fremgangsmåtene gir

$\alpha =7.2973525664(17)\times 10^{-3}={\frac {1}{137.035999137(83)}}\$

Ved studier av spektrallinjer fra de fjerneste galakser og kvasarer har man ikke kunne påvise at verdien av finstrukturkonstanten har forandret seg gjennom Universets utvikling.

Flytende verdier

Feynman-diagram som gir første kvante-korreksjon til finstrukturkonstanten i QED.

Finstrukturkonstanten gir et mål for størrelsen til kraften mellom elektriske ladninger. På enkleste nivå kan denne uttrykkes ved Coulombs lov som sier at den varierer omvendt proporsjonalt med kvadratet til avstanden r  dem. Men når denne blir mindre enn den reduserte Compton-bølgelengden, vil kvanteeffekter opptre som vil gi korreksjoner til denne lovmessigheten.

Det er vanlig å tilordne disse en variasjon av selve ladningene slik at disse blir avstandsavhengige. På den måten vil finstrukturkonstanten dermed forandres α → α(r)  hvor den vanlige verdien α = 1/137 opptrer når r >> λ_C. Denne variable verdien blir vanligvis omtalt som at finstrukturkonstanten er blitt «flytende».

Compton-bølgelengden til et elektron med masse m_e  er λ_e = ħ/m_ec  hvor ħ = h/2π  er den reduserte Planck-konstanten. Denne avstanden er derfor 137 større enn den klassiske elektronradius som er rundt 10⁻¹³ cm.

Ved bruk av kvanteelektrodynamikk kan variasjonen av finstrukturkonstanten beregnes. Resultatet kan skrives på formen

${1 \over \alpha (r)}={1 \over \alpha }-{2 \over 3\pi }{\Big (}\ln {\lambda _{e} \over r}-{5 \over 6}{\Big )}$

Tilsvarende korreksjoner vil også komme fra andre leptoner og kvarker i Standardmodellen. Alle bidragene gjør at finstrukturkonstanten øker i verdi med avtagende avstand. Men denne variasjonen er meget langsom da den skjer gjennom en logaritmisk funksjon.

Denne effekten er eksperimentelt blitt påvist. Ved LEP-akseleratoren ved CERN fant man verdien α(r_Z) = 1/128 for en avstand r_Z  som er den reduserte Compton-lengden til Z⁰-bosonet. Denne avstanden er mindre enn en hundre tusendel av elektronets Compton-lengde.

Elektrosvak teori

Kvanteelektrodynamikk for elektriske og magnetiske vekselvirkninger er en gaugeteori basert på Lie-gruppen U(1). Svake vekselvirkninger mellom elementærpartikler kan kombineres i en elektrosvak teori med gaugegruppen SU(2)×U(1) med de to fundamentale koblingskonstantene g₁  og g₂. Fotonet blir da en blanding av to andre gaugebosoner fra hver av disse Lie-gruppene. Av denne grunn vil det også opptre med en koblingskonstant e som er en blanding av de to andre koblingskonstantene. Ved å innføre den svake miksevinkelen θ_W, kan dette skrives som at e = g₁ cosθ_W = g₂ sinθ_W  hvis man bruker målenheter slik at den elektriske konstant ε₀ = 1. Denne sammenhengen kan også uttrykkes ved de elektrosvake «finstrukturkonstantene» α₁ = g₁²/4π ħc  og tilsvarende for α₂. På den måten finner man relasjonen

${1 \over \alpha _{1}}+{1 \over \alpha _{2}}={1 \over \alpha }$

Disse nye koblingskonstantene kan også betraktes som flytende. Med det eksperimentelle resultatet sin²θ_W = 0.23 for den svake blandingsvinkelen, finner man da for store avstander de inverse verdiene 1/α₁ = 105.5 og 1/α₂ = 31.5 som summerer seg opp til 137.

Litteratur

• J.D. Barrow, The Constants of Nature - From Alpha to Omega, Pantheon Books (2002). ISBN 978-0-22-406135-3.