Eksistens (matematikk)

Eksistens betegner innen matematikk at det finnes en verdi, ligning, løsning eller lignende til noe. Når man i grunnskolen finner løsninger på problemer som $3+4=$, $3x^{2}-5x=0$ og $\int \sin ^{2}(x)\,\mathrm {d} x$, så har man jo antatt følgende: at det finnes en løsning. Eksistens er tatt opp i det matematiske vokabulæret fordi det ikke er alltid det er åpenbart om det finnes en løsning eller ikke. Og i noen tilfeller så kan det å anta at det finnes en eller flere løsninger bringe enn til en feilkonkluksjon.

Et eksempel

Anta at du får i oppgave å finne det største positive heltallet som finnes. Kall dette for N. Siden 1 er et positivt heltall, er det åpenbart at $1\leq N$. Siden $N^{2}$ også er et positivt heltall, kan det ikke være større enn det største positive heltallet. Derfor har vi at $N^{2}\leq N\Rightarrow N^{2}-N\leq 0$. Derfor er $N(N-1)\leq 0\Rightarrow N-1\leq 0$. Derfor er $N\leq 1$. Siden vi også visste at $N\geq 1$, må $N=1$. Så dermed må 1 være det største positive heltallet.

Dette illustrerer hvor viktig eksistens kan være i matematikk. For ved å anta at problemet hadde en løsning, har vi kommet frem til noe som åpenbart er feil (dette problemet har ingen løsning).

Eksistens og unikhet

Et annet matematisk begrep som er knyttet opp til eksistens er unikhet. Det er fordi man gjerne vil at den løsningen man finner skal være den eneste. Når det gjelder basale uttrykk som $2x+3=0$ er det opplagt at det bare finnes en løsning. Det er det ikke ved mer kompliserte sider ved matematikken, som initialverdiproblemer. Man kan til og med finne problemer som har flere løsninger i matematikken ved grunnskolen. Ta for eksempel $3x^{2}+5x-8=0$. Denne ligningen har hele to løsninger ($x=1$ og $x=-{\frac {8}{3}}$).

Litteratur

• Adams, Robert A. (2006). Calculus: A Complete Course. ISBN 0-321-27000-2.