Divergensteorem

Divergensteoremet sier hvordan et overflateintegral over en lukket flate kan omskrives til et volumintegral, og motsatt.

$\oint _{S}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V$

Der $S$ er den flaten som omgir volumet $V$. Det kan være nyttig å bruke teoremet både den ene og den andre vegen.

Et eksempel på bruk er innen elektromagnetismen ved omskrivning av Gauss' lov fra integralform til differensialform:

$\oint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =Q_{\text{fri}}=\int _{V}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {D} \,\mathrm {d} V=\int _{V}\rho \,\mathrm {d} V$

som fører til at:

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {D} =\rho$

Kilder

• «Divergence Theorem», fra Wolfram Mathworld (engelsk)