Varmeledning

Lineær varmestrøm i x-retning.

Varmeledning (også kjent som termisk konduksjon) er overføring av varme ved kollisjoner mellom termisk agiterte molekyler. Ettersom agitasjonen øker med temperaturen, vil varmen strømme i den retningen der temperaturgradienten er størst. Et eksempel på dette er overføring av varme fra solside til skyggeside på en trestamme. Det som skjer er at varmeenergi forflytter seg fra høy temperatur, solsiden, til lav temperatur, skyggesiden.

Varmeenergi får atomer og molekyler i faststoff til å vibrere mot hverandre, og i væsker og gasser til eller å støte mot hverandre (sterkere med økt temperatur). Kollisjonene med omliggende atomer og molekyler overfører varmeenergi til de andre slik at temperaturen blir jevnere fordelt.

Varme kan også overføres via varmestråling og konveksjon (termisk omrøring), og ofte har man mer enn én av disse prosessene gående samtidig.

Fouriers lov

Ved stasjonære forhold er varmefluksen i faste materialer og i stillestående væsker proporsjonal med temperaturforskjellen per lengdeenhet i strømningsretningen. Dette uttrykkes gjennom varmeledningsloven som også kalles Fouriers lov da den ble formulert av den franske matematiker og fysiker Joseph Fourier i 1812. Betegner man fluksen av varme i retning x med symbolet J, så kan denne loven skrives som

$J=-\kappa {\frac {\Delta T}{\Delta x}}$

når det finnes en liten temperaturforskjell ΔT over en liten lengde Δx i denne retningen. Her er proporsjonalitetsfaktoren κ en materialegenskap som kalles termisk konduktivitet eller varmeledningsevnen for stoffet. (Etter tysk tradisjon brukes symbolet 𝝀 for varmeledningsevnen κ.) I praksis er den ikke helt konstant og varierer noe med temperaturen. Men variasjonene er som oftest små for vanlige stoffer. Minustegnet i loven uttrykker at varmen alltid strømmer fra høyere til lavere temperatur. Derfor må ΔT < 0 om strømmen skal være i positiv x-retning.

Varmefluksen sier hvor mye varme Q som strømmer gjennom en flate A per tidsenhet. Skrives dette som J = (1/A)dQ/dt, bringer det loven på formen

${dQ \over dt}=-\kappa A{\frac {\Delta T}{\Delta x}}$

I grensen hvor Δx blir veldig liten, kan brøken ΔT/Δx erstattes med den deriverte dT/dx av temperaturen i x-retning.

Eksempel

Et vindu med areal A = 1,0 m² står i veggen til et rom med innetemperatur 22 °C. Utenfor er det 0 °C og varme tapes ved ledning gjennom vinduet. Hvis dette består av glass med varmeledningsevne κ = 0,84 W/mK og har tykkelsen Δx = 6,0 mm, vil dette varmetapet bli

${dQ \over dt}=-0,84\,\mathrm {W \over mK} \cdot 1,0\,\mathrm {m} ^{2}\cdot {0-22 \over 0,006}\,\mathrm {K \over m} =3080\,\mathrm {W}$

Dette er et forholdsvis stort tap av varmeenergi. Det tilsvarende tapet som skyldes varmestråling, vil bare være på omtrent 75 W og derfor nesten neglisjerbart sammenlignet med tapet ved varmeledning.

Varmeledning i tre dimensjoner

Når et legeme taper varmeenergi ved ledning, vil dets temperatur også vanligvis forandres seg. I alminnelighet er derfor temperaturen i legemet gitt som en funksjon T = T(x,t) som varierer både med posisjonen x og tiden t. Varmemengden ΔQ som trenges til å gi en liten temperaturforandring ΔT er gitt som

$\Delta Q(t)=\rho C\!\int \!d^{3}x\Delta T({\boldsymbol {x}},t)$

hvor ρ er legemets massetetthet og C dets spesifikk varmekapasitet. Da temperaturen i legemet varierer med posisjonen, vil det derfor hele tiden og overalt finnes en varmefluksvektor J som er gitt ved Fouriers ligning

$\mathbf {J} =-\kappa {\boldsymbol {\nabla }}T$

i tre dimensjoner. Man ser at den reduseres til den endimensjonale versjonen i det spesielle tilfellet at temperaturgradienten finnes bare i en retning.

Hvis man nå betrakter en lukket flate S i legemet, vil varmen innenfor denne flaten forandres ved at varme kommer inn gjennom flaten. Derfor må

${\frac {dQ}{dt}}=\rho C\!\int \!d^{3}x{\partial T \over \partial t}=-\oint _{S}d\mathbf {S} \cdot \mathbf {J}$

hvor dS er et lite flateelement med retning normalt på flaten S. Men det siste integralet kan skrives om ved bruk av divergensteoremet til Gauss. Settes så inn Fouriers uttrykk for fluksen J, finner man den partielle differensialligningen

$\rho C{\partial T \over \partial t}=\kappa \nabla ^{2}T$

Denne varmeledningsligningen gjelder i hvert punkt i legemet og gjør det mulig i alminnelighet å beregne hvordan temperaturen varierer i tid og rom.

Ligningen har nøyaktig samme form som ligningen som beskriver diffusjon. Det er ingen tilfeldighet, men skyldes at på mikroskopisk nivå er fysikken bak begge transportfenomenene de samme. Ved bruk av kinetisk teori kan denne sammenhengen etableres kvantitativt.

Litteratur

• P. Callin, J. Pålsgård, R. Stadsnes og C.T. Tellefsen, Fysikk 1, Aschehoug, Oslo (2007).
• D. Halliday and R. Resnick, Physics for Students of Sciences and Engineering, John Wiley & Sons, Ltd., New York (1965).

Eksterne lenker

• Konduksjon på NTNUs sider