Gaugetransformasjon

Gaugetransformasjoner er spesielle, matematiske forandringer eller variasjoner av de fundamentale felt som beskriver elementærpartiklene. Ingen observasjoner av Naturen rundt oss påvirkes av disse forandringene. Det betyr at alle fysikkens lover er uforanderlige eller invariante under slike transformasjoner. Idag er dette et fundamentalt, fysisk prinsipp som ligger til grunn for all beskrivelse og forståelse av moderne elementærpartikkelfysikk slik som den sammenfattes i Standardmodellen.

Navn og historie

Selv om gaugetransformasjoner ble oppdaget i klassisk elektromagnetisme og allerede James Clerk Maxwell var klar over deres eksistens, var det først ved oppdagelsen av kvantemekanikken at de ble satt inn i en større sammenheng og fikk den betydning de har i dag. Navnet går tilbake til Einsteins generelle relativitetsteori da den var helt ny. Den tyske fysiker Hermann Weyl undersøkte muligheten for at lengden av målestaver kunne forandre seg under forflytning i et krummet tidrom. Denne muligheten håpet han skulle gi opphav til elektromagnetiske felt slik at de kunne forenes i en enhetlig feltteori sammen med gravitasjonsfeltet. En forandring av målestaver heter på tysk Eichtransformation etter det tyske verbet zu eichen for å måle. Derfor ble disse transformasjonene tidligere kalt justertransformasjoner på norsk som i Justervesenet. I dag er engelsk språk mer utbredt, og man bruker i stedet navnet gaugetranformasjon fordi å måle der heter to gauge.

Weyls forsøk på å lage en slik enhetlig teori lyktes ikke. Men med etableringen av kvantemekanikken ble man klar over at i stedet for å betrakte forflytninger av målestaver, slik Weyl hadde gjort, kunne man forflytte bølgefunksjoner eller kvantefelt i det vanlige tidrommet. Dette gir opphav til et nytt vektorfelt som kan identifiseres med det elektromagnetiske feltet. Denne intime sammenhengen mellom kvantemekanikk og elektromagnetisme har spesielt Richard Feynman understreket.

Elektromagnetisme

Elektriske felt som ikke varierer med tiden, er beskrevet i elektrostatikken ved den fundamentale ligning ∇ × E = 0. Da curl til en gradient er null, kan man skrive feltet som E = -∇ Φ. Dette er en viktig grunn for å innføre det elektriske potensialet gitt ved skalarfeltet Φ. Herav ser vi at feltet vil forbli uforandret hvis vi adderer en konstant C til potensialet, i.e. Φ → Φ' = Φ + C som medfører

$\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {E} '=-{\boldsymbol {\nabla }}\Phi '=\mathbf {E}$

da den deriverte av en konstant er null. Vi sier at det elektriske feltet er invariant under denne transformasjonen. Dette er det aller enkleste eksemplet på en gaugetransformasjon og er nesten trivielt. Invariansen skyldes at potensialet alltid gir den potensielle energien til en elektrisk ladet partikkel. Og i praksis måler man alltid energi differenser og da vil ikke en slik konstant spille noen rolle. Mer overraskende er observasjonen at denne invariansen også er tilstede hvis konstanten C erstattes med en funksjon C (t) av tiden, men bare når den fortsatt er konstant i rommet. Det er et eksempel på en tidsavhengig gaugetransformasjon.

Før vi betrakter et elektrisk felt som varierer med tiden, la oss betrakte det magnetiske feltet. Det oppfyller alltid Maxwells 3. ligning ∇⋅B = 0. Men da divergensen av en curl er identisk lik null, vil vi alltid ha dette kravet oppfylt hvis vi skriver magnetfeltet som B = ∇ × A. Her er vektorfeltet A = A(r,t) det magnetiske potensialet. Det varierer i alminnelighet med posisjonen r i rommet og med tiden t.

Vi kan nå påvise invarians under en magnetisk gaugetransformasjon. Vi forandrer vektorpotensialet ved å legge til en gradient, i.e.

$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} '=\mathbf {A} +{\boldsymbol {\nabla }}\chi$

hvor χ = χ(r,t) er en vilkårlig, skalar funksjon. Dette gir et transformert magnetfelt

$\mathbf {B} \rightarrow \mathbf {B} '={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} '={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} +{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}\chi =\mathbf {B}$

som derfor er uforandret. Dette skyldes at det siste leddet forsvinner da ∇ × ∇ = 0.

Man ser at gaugetransformasjonen kan være tidsavhengig i alminnelighet. Den tillater altså å erstatte et statisk magnetfelt med ett som varierer med tiden uten at fysikken forandrer seg. Det skyldes Faradays lov ∇ × E = - ∂ B/∂t som sier at det da vil induseres et kompenserende, elektrisk felt slik at systemet under betraktning oppfører seg som før transformasjonen.

Når magnetfeltet varierer med tiden, er det elektriske feltet ikke lenger curl-fritt og kan derfor ikke lenger skrives som en ren gradient av et skalart potensial. Men man kan finne en ny sammenheng ved å uttrykke magnetfeltet ved det magnetiske vektorpotensialet. Faradays lov kan da skrives som ∇ × (E + ∂ A/∂ t) = 0 når vi bytter om på derivasjonene i tid og rom i det siste leddet. Det som nå står inni parentesen, må være en gradient. For å ha konsistens med det statiske tilfellet, må dette være gradienten av det elektriske potensialet. Derfor finner vi relasjonen

$\mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}\Phi -{\partial \mathbf {A} \over \partial t}$

som alltid er gyldig. For at det elektriske feltet skal forbli uforandret under den magnetisk gaugetransformasjonen A → A + ∇ χ, må derfor det elektriske potensialet samtidig transformeres som

$\Phi \rightarrow \Phi -{\partial \chi \over \partial t}$

Denne sammenhengen mellom det elektromagnetiske feltet og potensialer kommer naturlig frem i klassisk elektrodynamikk hvor man lettere ser at Maxwells ligninger er i overensstemmelse med den spesielle relativitetsteorien.

Gaugefiksering

Denne friheten til å foreta gaugetransformasjoner betyr at gaugepotensialene (Φ, A) ikke er vanligvis entydig bestemt. For at det skal være tilfelle, må de oppfylle en ekstra betingelse som kalles en gaugefiksering og blir omtalt som å «velge en gauge». I stedet for fire uavhengige gaugepotensial, vil man derfor bare sitte igjen med tre som har fysisk betydning. De mest vanlige gaugevalgene er Coulomb-gauge (transvers gauge)

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =0$

eller Lorenz-gauge

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} +{1 \over c^{2}}{\partial \Phi \over \partial t}=0$

hvor c er lyshastigheten. Men andre valg som for eksempel Φ = 0 (strålingsgauge eller Weyl-gauge) eller n⋅A = 0 hvor vektoren n er konstant (aksial gauge), er også mulig og har sine fordeler i spesielle situasjoner.

Coulomb-gauge

Setter man inn det generelle uttrykket for det elektriske feltet uttrykt ved potensialene (Φ, A) i Gauss' lov når den skrives på den differensielle formen ∇⋅E = ρ/ε₀, gir det differensialligningen

$\nabla ^{2}\Phi +{\partial \over \partial t}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )=-{\rho \over \varepsilon _{0}}$

som holder i det mest generelle tilfellet hvor alle feltene også varierer med tiden. Med gaugevalget ∇⋅A(r,t) = 0 forsvinner det andre leddet på venstre side av ligningen som dermed forenkles til en Poisson-ligning. I et uendelig, åpent rom har denne den generelle løsningen

$\Phi (\mathbf {r} ,t)=\int d^{3}x'{\rho (\mathbf {r} ',t) \over 4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}$

Det skalare potensialet Φ er derfor gitt ved den samme ligning som i elektrostatikken hvor det ikke forefinnes tidsvariasjoner. Forandres ladningsfordelingen seg ved tidspunktet t, vil potensialet i et annet punkt vilkårlig langt unna forandre seg i samme øyeblikk uten forsinkelse. Dette kan virke ufysisk. Men da det bare er feltet E som er fysisk og det avhenger også av A, vil dette ikke være et problem.

Coulomb-gaugen benyttes også i magnetostatikken. For en gitt strømfordeling J(r) kan man der beregne det magnetiske vektorpotensialet fra Biot-Savarts lov,

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}r'\,{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}$

Bevarelse av elektrisk strøm er uttrykt ved kontinuitetsligningen. I denne statiske situasjonen sier den at ∇⋅J(r) = 0. Fra integralet følger da at vektorpotensialet må oppfylle ∇⋅A(r) = 0 som definerer Coulomb-gaugen.

Er B-feltet konstant i rommet, er nå vektorpotensialet entydig bestemt som

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={1 \over 2}\mathbf {B} \times \mathbf {r}$

Denne formen blir ofte benyttet i kvantefysikken for å studere egenskapene til atomer i ytre magnetfelt og Zeeman-effekten..

Lorenz-gauge

Selv om det er mulig å bruke Coulomb-gauge for tidsvarierende felt som opprinnelig vist av James Clerk Maxwell, er det mer vanlig i dag å bruke Lorenz-gauge. Den er oppkalt etter den danske fysiker Ludvig Lorenz som først brukte den. I eldre litteratur er den ofte omtalt om Lorentz-gauge etter den nederlandske fysiker Hendrik Lorentz som gjorde den kjent.

Den kan utledes fra definisjonen B(r,t) = ∇ × A(r,t). Tar man curl av denne og bruker identiteten ∇ × (∇ × A) = ∇ (∇⋅A) - ∇²A sammen med Maxwells ligninger for ∇ × B og ∇ × E med B = μ₀H og E = D/μ₀, får man

${\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {A} +\mu _{0}\mathbf {J} ={1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}+{\boldsymbol {\nabla }}{\Big (}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} +{1 \over c^{2}}{\partial \Phi \over \partial t}{\Big )}$

hvor c² = 1/ε₀μ₀ er kvadratet av lyshastigheten. Velger man nå Lorenz-gaugen ∂Φ/∂t + c²∇⋅A = 0, forsvinner siste ledd på høyre side og man står igjen med den inhomogene bølgeligningen

${\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J}$

Med dette gaugevalget ser man tydelig at strømmen er kilden til det magnetiske vektorpotensialet A. En tilsvarende bølgeligning vil man på samme måte også finne for det elektriske skalarpotensialet Φ med ladningstettheten ρ som kilde.

Lorentz-invarians

En viktig fordel med Lorenz-gaugen er at den er invariant under Lorentz-transformasjoner. Det sees ved å innføre firevektoren A^μ(x) = (A,Φ/c) hvor argumentet x står for de fire relativistiske koordinatene x^μ = (x,ct ). Gaugebetingelsen kan da skrives på den kompakte formen

$\partial _{\mu }A^{\mu }=0$

når man bruker Einsteins summekonvensjon og summerer over like indekser. I denne kovariante formuleringen av relativitetsteorien kan også de to relevante Maxwell-ligningene sammenfattes i den ene

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }$

hvor er den elektromagnetiske Faraday-tensoren F_μν = ∂_μA_ν - ∂_νA_μ. Velges nå Lorenz-gaugen, forenkles dette til den inhomogene, 4-dimensjonale bølgeligningen

$\partial ^{2}A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }$

hvor J^μ = (J, cρ) er den elektriske firestrømmen og ∂² = -∇² + ∂²/∂(ct)² er d'Alemberts bølgeoperator. De tre romlige komponentene av denne bølgeligningen gir den tidligere, inhomogene ligningen for vektorpotensialet A, mens den siste komponenten gir den inhomogene bølgeligningen

${\boldsymbol {\nabla }}^{2}\Phi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi \over \partial t^{2}}=-{\rho \over \varepsilon _{0}}$

for det elektriske potensialet. I denne gaugen utbrer dette seg også med lyshastighet i motsetning til i Coulomb-gauge hvor det forandrer seg instantant med forandringer i ladningstettheten.

En annen, kovariant gauge er x_μA^μ = 0 som vanligvis kalles for Schwinger-gauge. Men den blir sjelden brukt, og da for mer spesielle problem.

Klassisk mekanikk

Bevegelsen til en partikkel med masse m og elektrisk ladning q som befinner seg i et elektromagnetisk felt gitt ved de to potensialene (Φ, A), er enklest å beskrive ved bruk av Lagrange-mekanikk. Hvis vi antar at partikkelen beveger seg ikke-relativistisk, følger bevegelsen fra Lagrange-funksjonen

$L={1 \over 2}m\mathbf {v} ^{2}-q\Phi +q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A}$

Her er v = dr/dt hastigheten til partikkelen, og de to elektromagnetiske potensialene er i alminnelighet funksjoner av tiden t og partikkelens posisjon r. De to koblingene med ladningen representerer henholdsvis den elektriske og den magnetisk vekselvirkningen. Selv om det ikke her kan sees, inngår de i denne kombinasjonen på en slik måte at den totale vekselvirkningen er i overensstemmelse med Einsteins spesielle relativitetsteori. Den ble finnet av Karl Schwarzschild i 1903, to år før Einstein publiserte sin teori.

Den kanoniske impulsen til partikkelen i det elektromagnetiske feltet blir nå p = ∂L/∂v = m v + q A. Det viser at partiklens kinetiske impuls

$m\mathbf {v} =\mathbf {p} -q\mathbf {A}$

inneholder en term som er direkte proporsjonal med det magnetiske vektorpotensialet A. Dette var innsett allerede av Maxwell da han utarbeidet sine ligninger og spiller en meget viktig rolle i mange kvantemekaniske sammenhenger.

Under en gaugetransformasjon forandres nå Lagrange-funksjonen til

$L\rightarrow {1 \over 2}m\mathbf {v} ^{2}-q{\Big (}\Phi -{\partial \chi \over \partial t}{\Big )}+q\mathbf {v} \cdot {\big (}\mathbf {A} +{\boldsymbol {\nabla }}\chi {\big )}$

Det ser derfor ikke ut til at man har invarians under gaugetransformasjoner i beskrivelsen av denne partikkelen. Her er χ = χ(r,t) slik at man kan kombinere de to ekstra leddene i en enkel totalderivert

${d\chi \over dt}={\partial \chi \over \partial t}+\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\chi$

som ble opprinnelig innført av Euler. Nettoresultatet av gaugetransformasjonen er derfor ganske enkelt L → L + q dχ/dt. Men når en totalderivert med hensyn på tiden legges til Lagrange-funksjonen, forblir bevegelsesligningene uforandret. Derfor er også denne beskrivelsen invariant under gaugetransformasjoner. Dette gjelder også for relativistiske partikler da de har nøyaktig samme kobling til de elektromagnetiske potensialene som i det ikke-relativistiske tilfellet behandlet her.

Kvantemekanikk

En ikke-relativistisk partikkel med masse m og ladning q som befinner seg i et rom med elektromagnetiske potensial (Φ,A), har en dynamikk som er gitt ved den tidsavhengige Schrödinger-ligningen

$i\hbar {\partial \Psi \over \partial t}={\Big [}-{\hbar ^{2} \over 2m}{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}-i{q \over \hbar }\mathbf {A} {\big )}^{2}+q\Phi {\Big ]}\Psi$

hvor Ψ = Ψ(r,t) er bølgefunksjonen. Etter en gaugetransformasjon av potensialene vil bølgefunksjonen bli forandret til en løsning av den transformerte ligningen

$i\hbar {\partial \Psi ' \over \partial t}={\Big [}-{\hbar ^{2} \over 2m}{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}-i{q \over \hbar }\mathbf {A} -i{q \over \hbar }{\boldsymbol {\nabla }}\chi {\big )}^{2}+q{\big (}\Phi -{\partial \chi \over \partial t}{\big )}{\Big ]}\Psi '$

Den ser ut til å gi en ganske annen fysikk enn den første. Men den kan forenkles ved å benytte at

${\Big (}{\partial \over \partial t}+i{q \over \hbar }\Phi -i{q \over \hbar }{\partial \chi \over \partial t}{\Big )}\Psi '=e^{iq\chi /\hbar }{\Big (}{\partial \over \partial t}+i{q \over \hbar }\Phi {\Big )}e^{-iq\chi /\hbar }\Psi '$

og tilsvarende for parentesen med nabla-operatoren. På den måten kan vi omskrive den transformerte ligningen slik at den blir identisk med den utransformerte Schrödinger-ligningen vi startet med når vi setter Ψ = exp( - iqχ/ħ)Ψ'. Dette er en lokal fasetransformasjon da funksjonen χ tar i alminnelighet forskjellige verdier i forskjellige punkt til forskjellige tider. Alle fysiske resultat vi kan beregne fra disse to ligningene, vil bli de samme da de er gitt ved sannsynligheten |Ψ|² = Ψ^*Ψ. Den er uavhengig av om bølgefunksjonen får en ekstra fasefaktor.

For en relativistisk partikkel finner man det samme resultatet. Et elektron med masse m og ladning q som beveger seg i et elektromagnetisk felt, er beskrevet ved en spinor-bølgefunksjon som må oppfylle Dirac-ligningen

$i\hbar {\partial \Psi \over \partial t}=c{\Big [}-i\hbar {\boldsymbol {\alpha }}\cdot {\big (}{\boldsymbol {\nabla }}-i{q \over \hbar }\mathbf {A} {\big )}+q\Phi +\beta mc{\Big ]}\Psi$

hvor c er lyshastigheten og α og β er Dirac-matriser. Med samme beregning som tidligere kan man igjen vise at en gaugetransformasjon av de elektromagnetiske potensialene (Φ,A) kan kompenseres ved en fasetransformasjon av bølgefunksjonen Ψ og har derfor ingen fysiske konsekvenser.

Idag er denne argumentasjonen snudd på hodet. Siden en lokal fasetranstransformasjon

$\Psi \rightarrow \Psi '=e^{iq\chi /\hbar }\Psi$

ikke kan ha noen fysisk konsekvens, kan alle fysiske ligninger gjøres invariante under slike transformasjoner når det samtidig innføres «gaugepotensial» med transformasjonene

$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} '=\mathbf {A} +{\boldsymbol {\nabla }}\chi ,\;\;\;\;\Phi \rightarrow \Phi '=\Phi -{\partial \chi \over \partial t}$

De elektromagnetiske feltene finnes derfor som en konsekvens av en fundamental egenskap ved kvantemekanikken. Alle gaugeteorier for elementærpartikler i Standardmodellen er konstruerte ut fra dette prinsipp.