Akselerasjon

Akselerasjon er endringsraten av hastighet for et legeme. Bildet viser bombeflyet B-47 med utstyr for rakett-assistert take off (JATO), noe som ga flytypen stor akselerasjon.

Foto: US Air Force

Akselerasjon er i fysikk endringen av hastigheten til et legeme med hensyn på tiden. Et legemes akselerasjon er netto resultat av alle de krefter som virker på legemet, som beskrevet av Newtons andre lov. SI-enhet for akselerasjon er meter per sekund i andre potens (m/s²), eller meter per sekund per sekund.

I dagligtale er akselerasjon relatert til endring av fart. For eksempel, akselererer en bil når den øker farten fra en 50-sone til en 60-sone. Men akselerasjon i fysikken er også definert som endring av retningen til et legeme i bevegelse. Dermed akselererer bilen også når den kjører gjennom en kurve, selv om speedometret viser konstant hastighet. På grunn av dette brukes vektorer når akselerasjon skal behandles matematisk. Negativ akselerasjon (bremsing) henvises ofte til som retardasjon (fra latin, «forsinkelse»).

Definisjon og beskrivelse

Gjennomsnittlig akselerasjon

Et legemes gjennomsnittlige akselerasjon ${\bar {a}}$ over en tidsperiode er dets forandring av fart $\Delta \mathbf {v}$ dividert med varigheten av perioden $\Delta t$ som uttrykkes:

${\bar {a}}={\frac {v_{2}-v_{1}}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}},$

der $v_{1}$ og $v_{2}$ er hastigheten ved henholdsvis start og enden av perioden, og $t_{1}$ og $t_{2}$ er tiden ved henholdsvis start og enden av den samme perioden.

På samme måte er fartens gjennomsnittsverdi ${\bar {v}}$ over en tidsperiode, forandring av posisjon (vei) $\Delta \mathbf {s}$ dividert med varigheten av perioden $\Delta t$ som uttrykkes:

${\bar {v}}={\frac {s_{2}-s_{1}}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}},$

der $s_{1}$ og $s_{2}$ henholdsvis posisjonene ved start og enden av den samme tidsperioden.

Eksempel på beregning for å finne endringen av hastigheten

En bil beveger seg ved tiden $t_{1}=0\,\mathrm {s}$ med en hastighet på $v_{1}=10\,\mathrm {\tfrac {m}{s}}$ på veien (eller 36 km/h). Ti sekunder senere, ved tiden $t_{2}=10\,\mathrm {s}$, er hastigheten økt til $v_{2}=30\,\mathrm {\tfrac {m}{s}}$ (eller 108 km/t). Hva er bilens gjennomsnittlige akselerasjon?

Den gjennomsnittlige akselerasjon av bilen i dette tidsintervallet finnes slik:

$a_{gj}={\frac {v_{2}-v_{1}}{t_{2}-t_{1}}}={\frac {30-10}{10-0}}=2\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}}$

Hastigheten har altså gjennomsnittlig endret seg 2 m/s (eller 7,2 km/h) over de ti sekundene.

Momentant akselerasjon

Illustrasjon av parametre for bevegelse:

• tilbakelagt strekning som funksjon av tiden s(t);
• hastigheten for bevegelsen v(t);
• akselerasjon (og retardasjon) for den samme bevegelsen a(t).

Momentan akselerasjon er grenseverdien av gjennomsnittlig akselerasjon over et uendelig lite (infinitesimal) tidsintervall. Det vil si at om en vil finne akselerasjonen i posisjon 1 der hastigheten er $v_{1}$ lar en målepunktet for posisjon 2 der hastigheten er $v_{2}$, og tilhørerne tidspunkter $t_{1}$ og $t_{2}$, komme nærmere og nærmere posisjon 1. Slik blir den gjennomsnittlige akselerasjonen ${\bar {a}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$ en stadig mindre hastighetsendring over et stadig mindre tidsintervall. Det innebærer at $\Delta v$ og $\Delta t$ blir stadig mindre, men forholdet mellom dem blir nødvendigvis ikke lite. I matematikken sier en at grenseverdien av ${\frac {\Delta v}{\Delta t}}$ når $\Delta t$ går mot null er den deriverte av farten med hensyn på tiden:

$a=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {dv}{dt}}$

En sier at momentan akselerasjon er den momentane hastighetsendringen over tid.

På samme måte defineres momentan hastighet som grenseverdien av den gjennomsnittlige hastigheten når tidsintervallet går mot null. Altså den momentane endring av posisjon over tid:

$v=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {ds}{dt}}$

Integralet av funksjonen som beskriver akselerasjonen a(t) er hastighetsfunksjonen v(t), det vil si arealet under kurven for en funksjon som beskriver akselerasjon i forhold til tiden (a versus t) svarer til hastigheten.

$v=\int a\ dt$

Akselerasjonen kan også tolkes som den annenderiverte av posisjonen s i forhold til tiden t:

$a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}$

Konstant akselerasjon

Det skjeve tårn i Pisa hvor Galileo Galilei utførte eksperimenter med å undersøke fall for baller med ulik størrelse, men av samme materiale. Forsøket viste at falltiden og dermed akselerasjonen var uavhengig av deres masser.

Konstant akselerasjon er en type bevegelse der hastigheten til et legeme endres konstant innenfor ethvert likt tidsintervall. Et typisk eksempel på jevn akselerasjon er et legeme i fritt fall i et homogent gravitasjonsfelt. Akselerasjonen av et fallende legeme i fravær av motstand mot bevegelsen er avhengig bare av gravitasjonsfeltetsstyrken g, også kalt tyngdeakselerasjonen.

Generelt er det enkle analytiske egenskaper som gjelder ved konstant akselerasjon, dermed er det også enkle formler som gjelder for medgått vei, start- og tidsavhengig hastigheter, samt akselerasjon ved medgått tid:

$s=s_{0}+v_{0}t+{\tfrac {1}{2}}at^{2}$

$v=v_{0}+at$

$v^{2}={v_{0}}^{2}+2a\cdot (s-s_{0})$

der:

$t$ er medgått tid,

$s_{0}$ er posisjonen ved start,

$s$ er posisjon ved tiden $t$,

$v_{0}$ er farten ved start,

$v$ er farten ved tidspunktet $t$, og

$a$ er akselerasjonen.

Eksempel på bevegelse med konstant akselerasjon

Fra toppen av det skjeve tårn i Pisa slippes en kule, hva er dens posisjon (tilbakelagt strekning fra toppen) og hastighet etter 2 sekunder? Forutsett at den faller fritt og at begynnelseshastigheten er null.

Likningene over benyttes, der a erstattes med tyngdeakselerasjonen g først for å finne et uttrykk for tilbakelagt strekning:

$s=s_{0}+v_{0}t+{\tfrac {1}{2}}at^{2}=0+0+{\frac {1}{2}}(-g)t^{2}=(-4,9m/s^{2})t^{2},$

og etter 2 sekunder blir tilbakelagt strekning:

$s=(-4,9\ m/s^{2})2^{2}=-19,6\ m$

Og et uttrykk for hastigheten blir slik:

$v=v_{0}+at=0+(-g)t=(-9,8\ m/s^{2})t$

Etter 2 sekunder er hastigheten:

$v=(-9,8\ m/s^{2})2s=19,6\ m/s$

Akselerasjon med endring av retning

Akselerasjon er raten av endring av hastighet. På ethvert punkt på en bane blir størrelsen av akselerasjonen gitt av hastigheten av forandring av hastigheten i både størrelse og retning ved det tidspunktet. Den virkelige akselerasjon ved tiden t finnes som grenseverdien for tidsintervallet At → 0 av Δv/Δt.

Når en bil starter fra stillstand (null relativ hastighet) og beveger seg i en rett linje ved økende hastighet, akselererer den i bevegelsesretningen. Hvis bilen svinger, er det en akselerasjon mot den nye retningen. I dette eksempel kalles akselerasjonen fremover av bilen en lineær akselerasjon. Passasjerene i bilen kan oppleve en kraft som skyver dem tilbake i sine seter. Når bilen skifter retning i en kurve, kalles dette ikke-lineær akselerasjon, noe som passasjerene kan oppleve som en sidelengs kraft. Dersom hastigheten på bilen avtar, er dette en akselerasjon i motsatt retning av bilens kjøreretning, noen ganger kalt retardasjon. Passasjerer kan oppleve retardasjon som en kraft som forsøker å løfte dem fremover i kjøretøyet. Matematisk er det ingen separat formel for retardasjon: begge uttrykker endringer av hastigheten. Hver av disse typene av akselerasjon (lineære, ikke-lineære, retardasjon) kan føles av passasjerene inntil deres hastighet (hastighet og retning) stemmer overens med bilens hastighet.

Akselerasjon og hastighet behandles på grunn av dette ofte matematisk som vektorstørrelser, hvilket vil si at de har både en størrelse og retning, og kan adderes etter parallellogramloven. Si at et legeme beveger seg fra posisjonen 1 til 2 og at hastigheten i løpet av tiden fra $t_{1}$ til $t_{2}$ har endret seg i både retning og størrelse. Den vektorielle endringen av hastigheten er da: $\Delta {\vec {v}}={\vec {v_{2}}}-{\vec {v_{1}}}$ og den gjennomsnittlige vektorielle akselerasjonen i tidsintervallet $\Delta {t}={t_{2}}-{t_{1}}$:

${\vec {a_{gj}}}={\frac {{\vec {v_{1}}}-{\vec {v_{0}}}}{t_{1}-t_{0}}}={\frac {\Delta {\vec {a}}}{\Delta t}},$

Gjennomsnittlig akselerasjon er en vektor med samme retning som den vektorielle gjennomsnittlige hastighet. Den momentane vektorielle akselerasjon blir definert på samme måte som akselerasjon for forandring av fart, altså:

${\vec {a}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\vec {v}}}{\Delta t}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}},$

altså den deriverte av hastighetsvektoren ${\vec {v}}$ med hensyn på tiden t.

Det er vanlig å betrakte fart bare som en absoluttverdi, mens hastighet beskrives både som størrelse og retning, altså en størrelse som beskrives som en vektor.

Bevegelse og akselerasjon kan også være noe som skjer i tre dimensjoner, altså ikke en hendelse i planet, men i rommet, dermed er det vanlig å dekomponere akselerasjonen i x-, y- og z-komponenter. For momentan akselerasjon blir definisjonen av disse komponentene:

$a_{x}={dv_{x} \over dt},\ a_{y}={dv_{y} \over dt}\ og\ a_{z}={dv_{z} \over dt},$

der $v_{x}$, $v_{y}$ og $v_{z}$ er hastigheten i henholdsvis x-, y- og z-retningene.

Uttrykt med enhetsvektorer blir dette en akselerasjonsvektor slik:

${\vec {a}}={dv_{x} \over dt}\mathbf {i} +{dv_{y} \over dt}\mathbf {j} +{dv_{z} \over dt}\mathbf {k}$

der i, j og k er enhetsvektorene i henholdsvis x-, y- og z-retningene.

Siden hver av akselerasjonskomponentene er den dobbeltderiverte av strekningen kan dette også uttrykkes:

$a_{x}={d^{2}s_{x} \over dt},\ a_{y}={d^{2}s_{y} \over dt}\ og\ a_{z}={d^{2}s_{z} \over dt},$

der $s_{x}$, $s_{y}$ og $s_{z}$ er hastigheten i henholdsvis x-, y- og z-retningene. Og akselerasjonsvektoren blir etter dette:

${\vec {a}}={d^{2}s_{x} \over dt}\mathbf {i} +{d^{2}s_{y} \over dt}\mathbf {j} +{d^{2}s_{z} \over dt}\mathbf {k} ,$

Tangential og sentripetalakselerasjon

En oscillerende pendel med den dekomponerte hastigheten v og (sentripetal-)akselerasjonen a vist som vektorer. Dette er et eksempel på et legemet som opplever både tangential- og sentripetalakselerasjon, der tangentialakselerasjon er en vektor med lik retning som hastigheten. Legg merke til at hver gang pendelen snur og dens fart øker fra null peker vektorene for hastighet (dermed også tangentialakselerasjon) og sentripetalakselerasjon et kort øyeblikk samme vei. Når den er på vei mot bunnpunktet er hastighetsøkningen stor, og på sitt største akkurat ved bunnpunktet, hvor følgelig den tangentiale akselerasjonsvektoren er på sitt største.

Hastigheten til et legeme som beveger seg i en buet bane som en funksjon av tiden kan skrives som:

${\vec {v}}(t)=v(t){\frac {{\vec {v}}(t)}{v(t)}}=v(t){\vec {u}}_{\mathrm {t} }(t),$

med v(t) som er lik hastigheten for bevegelse langs banen, og:

${\vec {u}}_{t}={\frac {{\vec {v}}(t)}{v(t)}}\ ,$

som er en tangentiell enhetsvektor til banen som peker i bevegelsesretningen på det valgte øyeblikk i tid. Tatt i betraktning både skiftende hastighet $v(t)$ og skiftende retning av ${\vec {u}}_{t}$, kan akselerasjonen til en partikkel som beveger seg i en buet bane, skrives med kjerneregelen for derivering for et produkt av to funksjoner av tid som:

${\begin{alignedat}{3}{\vec {a}}&={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\\&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}{\vec {u}}_{\mathrm {t} }+v(t){\frac {d{\vec {u}}_{\mathrm {t} }}{dt}}\\&={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}{\vec {u}}_{\mathrm {t} }+{\frac {v^{2}}{r}}{\vec {u}}_{\mathrm {n} }\ ,\\\end{alignedat}}$

der ${\vec {u}}_{n}$ er enhetsnormalvektoren (innover) til legemets bane (også kalt hovednormalen), og r er dens momentane kurveradius basert på den aktuelle krumningssirkelen for tidspunktet t. Disse komponentene blir kalt henholdsvis tangentiell akselerasjon og normal- eller radiell akselerasjon (eller sentripetalakselerasjon i sirkulær bevegelse).

Sirkelbevegelse

Sirkulær bevegelse i en karusell.

Foto: Guido Radig

Sirkulær akselerasjon med økning av hastighet, vist med økning av den blå vektorens lengde. Akselerasjonen er vist med rød vektorer, som er dekomponert i en .

Foto: Jonas De Kooning

Uniform sirkulær bevegelse vil si at det er konstant fart langs en sirkulær bane, som er et eksempel på at et legeme akselererer. Selv om farten er konstant, endrer retningen av hastigheten seg konstant. Retningen av legemets bevegelse er tangentiell til sirkelen, og er en vektor som er i stadig forandring. Denne akselerasjonen er en radial akselerasjon $a_{rad}$ siden det alltid er rettet mot midten av sirkelen. Absoluttverdien uttrykkes:

$a_{rad}={{v^{2}} \over {r}}$

der $v$ er legemets lineære fart langs den sirkulære bane og $r$ er radius til sirkelbanen. Denne størrelsen kan også beregnes ut fra legemets vinkelhastighet $\omega$:

$a_{rad}={\omega ^{2}}r$

Med ikke-uniform sirkulær bevegelse menes at hastighet langs den sirkulære banen endres, dette betyr at det også virker en akselerasjon som er parallell med den momentane hastigheten. Denne akselerasjonen er i tillegg en tangent til sirkelbanen. Denne komponenten $a_{tan}$ uttrykkes:

$a_{tan}={d|{\vec {v}}| \over {r}}$

der $|{\vec {v}}|$ er absoluttverdien av hastighetsvektoren, altså farten. En annen sammenheng som gjelder for farten og periodetiden $T$, altså tiden for legemet å gjennomløpe en runde i sirkelbanen:

$v={2\pi r \over {T}},$

og ved å sette denne sammenheng inn i formelen for radialakselerasjon over fås denne sammenhengen:

$a_{rad}={4\pi ^{2}r \over T^{2}},$

Denne akselerasjonskomponenten kan også finnes ut fra vinkelhastigheten, den er proporsjonal med endring av vinkelhastigheten rundt sirkelen ganger radius r:

$a_{tan}={\omega ^{2}}r$

Sammenheng mellom akselerasjon og kraft

Ved anvendelse av Newtons andre lov på kraften F, kan en finne en sammenheng mellom akselerasjon og kraften som virker på et legeme:

${\vec {F}}=m{\vec {a}},$

der m er massen av legemet.

Akselerasjonen og nettokraften som virker på et legeme i uniform sirkulær bevegelse er rettet mot midten av sirkelen. Denne kraften er kalt sentripetalkraften. Mens den såkalte sentrifugalkraften som synes å opptre i motsatt retning på legemet, er i virkeligheten en fiktiv kraft som kun oppleves i selve referansesystemet til et legeme i sirkulær bevegelse.

Størrelsen av nettokraften som virker på et legeme i uniform sirkulær bevegelse er gitt av:

$F=ma_{rad}=m{v^{2} \over r},$

der størrelsene er de samme som før.

Ekvivalensprinsippet og generell relativitet

Ifølge Ekvivalensprinsippet av den generelle relativitetsteorien, er det ikke mulig for en observatør å skille om hen er på jorden eller i en rakett som akselererer med g (9,8 m/s²).

Ekvivalensprinsippet sier at det ikke er noe gravitasjonsfelt i et fritt fallende referansesystem. Det går tilbake til betraktningene til Galileo Galilei og Isaac Newton, som erkjente at alle legemer som akselererer på grunn av gravitasjon, gjør det uavhengig av deres masse. En observatør i et laboratorium kan ikke avgjøre om hennes eller hans laboratorium er i vektløs tilstand eller befinner seg i fritt fall. Observatøren kan heller ikke fastslå om laboratoriet flyttes med jevn akselerasjon, eller om det er i et eksternt homogent gravitasjonsfelt som virker gjennom det (for eksempel at laboratoriet står på jorden).

Eksempler på størrelsen av akselerasjon

Størrelsen av typiske akselerasjoner fra hverdagen og fra universet:

• Et passasjertog oppnår typisk en akselerasjon på cirka 0,5 m/s²,
• I løpet av de første stegene i en sprint kan akselerasjoner på cirka 4 m/s² oppnås for en utøver.
• Ved kulestøt oppstår en akselerert kastfase på cirka 10 m/s².
• I en vaskemaskin virker det en akselerasjon på mer enn 3000 m/s² på klærne i trommelen.
• Nålen i en symaskin kan komme opp i akselerasjoner på 60 000 m/s²
• Tyngdens akselerasjon på overflaten av en nøytronstjerne er 2·10¹¹ m/s²

Se også

• Treghet
• Akselerometer
• Høyereordens deriverte av posisjon

Litteratur

• Hugo D. Young og Roger A. Freedman (2008). University Physics (på engelsk) (XII utg.). Addison Wesley. ISBN 978-0-321-50130-1. 

• Lien, Jan R. (2000). Mekanikk. Bergen: Fysisk institutt, Universitetet i Bergen. 

Eksterne lenker

(en) Acceleration – kategori av bilder, video eller lyd på Commons

• Measurespeed.com – Akselerasjons kalkulator.