Barysentriske koordinater

Barysentriske koordinater benyttes til å angi posisjonen av et punkt i planet relativt til de tre hjørnene i en trekant som ligger i det samme planet. Likedan kan de benyttes til å angi posisjonen til et punkt på en linje relativt til endepunktene av et gitt linjestykke langs linjen eller posisjonen til et punkt i det tredimensjonale rommet relativt til de fire hjørnene av et tetraeder.

Koordinatene ble innført av August Möbius i 1827 og var det første eksempel på bruk av homogene koordinater. Disse ble kort tid senere av stor betydning for en analytisk beskrivelse av projektiv geometri. De må ikke forveksles med de koordinater som benyttes i massesenteret til en samling av mekaniske masser selv om det eksisterer en nær sammenheng. Denne er også uttrykt i navnet barysentrisk som kommer fra det greske βαρύς (barýs) for tung eller massiv.

Flere tiår etter Möbius ble moderne vektorregning utviklet. Det gjorde det klart at hans koordinater opptrer på en naturlig måte i affine vektorrom. De benyttes fremdeles i dag innen spesielle sektorer av moderne datagrafikk.

Definisjon

I et plan kan de tre hjørnene til et triangel angis ved posisjonsvektorene r₁, r₂ og r₃ i et affint eller euklidsk rom. Hvis man plasserer masser m₁, m₂ og m₃ i de samme punktene, vil massesenteret eller tyngdepunktet for dette systemet befinne seg i en posisjon r_S gitt ved

(m_{1}+m_{2}+m_{3})\mathbf {r} _{S}=m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}+m_{3}\mathbf {r} _{3}

Når dette er et mekanisk system, vil de tre massene være positive og massesenteret ligge inne i trekanten. Men Möbius ga denne sammenhengen et mer geometrisk innhold ved å tilordne hvert hjørne x_k en abstrakt vekt m_k som kunne både være positiv, negativ eller null. I planet vil da de tre tallene (m₁, m₂, m₃) entydig bestemme et tyngdepunkt ved bruk av den samme formelen og derfor sies å være dets koordinater.^[1] Hvis en av disse abstrakte massene er null, vil det tilsvarende punktet ligge på den siden i trekanten som forbinder de to hjørnene med masser. Hvis to masser er null, vil tyngdepunktet være i det hjørnet som har masse.

Denne definisjonen kan lett utvides for koordinater i et n-dimensjonalt vektorrom. Man behøver da n + 1 uavhengige posisjonsvektorer r₁, r₂, ..., r_n+1 som definerer hjørnene til et n-dimensjonalt simplex. Hvert punkt i dette rommet kan da angis ved n + 1 barysentriske koordinater (m₁, m₂, ..., m_n+1). I alminnelighet kan disse tilhøre andre tallkropper enn de reelle tallene.^[2]

Homogene koordinater

Hvis alle koordinatene (m₁, m₂, ..., m_n+1) multipliseres med en og samme konstant, vil ikke tyngepunktet til massene forandres. Derfor representerer (km₁, km₂, ..., km_n+1) samme punkt som (m₁, m₂, ..., m_n+1). Slike koordinater sies å være homogene og benyttes i projektiv geometri. For å understreke at det kun er deres relative størrelser som betyr noe, angir man homogene koordinater av og til med et kolontegn istedet. Derfor angir man det gjeldende punktet som (m₁: m₂: m₃: ... : m_n+1). Av disse n + 1 koordinatene er det derfor bare n som er uavhengige. For punkter i et plan, trenger man bare to som tilsvarer at det er todimensjonalt.^[2]

Med denne friheten i de barysentriske koordinatene, er det ofte hensiktsmessig å velge dem slik at de oppfyller

m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n+1}=1

og kalles for normaliserte koordinater. De er da ekvivalente med affine koordinater hvor et av hjørnene i simplexet spiller rollen som origo. Med denne normaliseringen vil da for eksempel de tre hjørnene til et referansetriangel i to dimensjoner få de homogene koordinatene (1:0:0), (0:1:0) og (0:0:1) uavhengig av dets form.

Sammenheng med kartesiske koordinater

Hvis hjørnene i referansesimplexet er angitt i et kartesisk koordinatsystem, kan de barysentriske koordinatene beregnes. For eksempel, i et plan med slike koordinater (x, y) er de tre hjørnene i den brukte trekanten r_k gitt som (x_k, y_k) for k = 1,2 og 3. De homogene koordinatene for et vilkårlig punkt r_S = (x_S, y_S) kan da finnes fra

{\begin{aligned}x_{S}&=m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+m_{3}x_{3}=m_{1}(x_{1}-x_{3})+m_{2}(x_{2}-x_{3})\\y_{S}&=m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+m_{3}y_{3}=m_{1}(y_{1}-y_{3})+m_{2}(y_{2}-y_{3})\end{aligned}}

når man benytter normaliseringen m₁ + m₂ + m₃ = 1. Da de kartesiske koordinatene for de tre referansepunktene anses som kjente, er dette et lineært ligningssystem som kan løses for de to ukjente m₁ og m₂ for hvert punkt r_S i planet.

På matriseform kan de to ligningene skrives

{\begin{bmatrix}x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{3}\\y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{3}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}m_{1}\\m_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{S}\\y_{S}\end{bmatrix}}

Deres løsning kan finnes såfremt determinanten

{\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{3}\\y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{3}\end{bmatrix}}&={\begin{vmatrix}x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{3}&x_{3}\\y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{3}&y_{3}\\0&0&1\end{vmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}\end{aligned}}

er forskjellig fra null. Da den representerer det dobbelte arealet til referansetrekanten, er denne betingelsen allerede oppfylt. Ligningssettet som gir de barysentriske koordinatene, kan derfor skrives på den mer symmetriske måten som

{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}m_{1}\\m_{2}\\m_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{S}\\y_{S}\\1\end{bmatrix}}

da m₁ + m₂ + m₃ = 1 for de normaliserte koordinatene for punkt i den endelige delen av planet. Hvis derimot m₁ + m₂ + m₃ = 0, vil uttrykkene for x_S og y_S divergere. Tyngdepunktet ligger da uendelig langt bort.^[3]

En dimensjon

Tyngdepunkt S for to masser m₁ og m₂ på en linje.

Koordinaten for tyngdepunktet S til to masser m₁ og m₂ som ligger på en rett linjei i posisjonene x₁ og x₂, er bestemt ved ligningen

(m_{1}+m_{2})x_{s}=m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}

Den kan skrives om til

m_{1}(x_{S}-x_{1})=m_{2}(x_{2}-x_{S})

Hvis man innfører avstandene ℓ₁ = x_S - x₁ og ℓ₂ = x₂ - x_S, tar den formen

m_{1}\ell _{1}=m_{2}\ell _{2}

Dette uttrykker vektstangprinsippet som sier at dreiemomentet om tyngdepunktet er null når de to massene befinner seg i et tyngdefelt. De to barysentriske koordinatene (m₁: m₂) for tyngdepunktet er derfor gitt ved forholdet m₁/m₂ = ℓ₂/ℓ₁. For punkt S mellom de to referansepunktene x₁ og x₂ er begge avstandene ℓ₁ og ℓ₂ positive slik at da vil koordinatene oppfylle m₁/m₂ > 0.

Noen barysentriske koordinater for punkt langs en rett linje.

For midtpunktet mellom de to referansepunktene vil ℓ₁ = ℓ₂ som tilsvarer m₁/m₂ = 1. De barysentriske koordinatene for dette punktet er derfor (1:1) som tilsvarer de normaliserte koordinatene (1/2 : 1/2).

Derimot vil en av avstandene ℓ₁ og ℓ₂ ta negative verdier når tyngdepunktet ligger utenfor referansestrekningen mellom x₁ og x₂. Forholdet m₁/m₂ blir derfor negativt i dette tilfellet. Når det ligger til venstre for x₁, vil m₁/m₂ < - 1. I det motsatte fall at punktet ligger til høyre utenfor x₂, vil derimot m₁/m₂ > - 1.

Punkt i det uendelige

Når m₁/m₂ = -1 som tilsvarer at de to massene er like store med motsatt fortegn, vil tyngdepunktet S bevege seg ut til uendelig. Når det ligger uendelig langt borte til venstre vil dette tilsvare punktet - ∞, mens det i motsatt fall går mot + ∞ til høyre. Men begge disse punktene har de samme, homogene koordinatene (1:-1) = (-1:1) som tilsvarer at da er m₁ + m₂ = 0. Så med homogene koordinater finnes det bare et punkt i det uendelig, og man kan ikke skille mellom + ∞ og - ∞. De må identifiseres med hverandre.^[4]

Harmonisk konjugert punkt

Kalles de to referansepunktene for X₁ og X₂, er tyngdepunktet S gitt som

S={m_{1}X_{1}+m_{2}X_{2} \over m_{1}+m_{2}}

Det deler linjestykket mellom disse to punktene i forholdet m₁/m₂. For hvert slikt punkt mellom referansepunktene finnes det et annet, harmonisk konjugert punkt S' som ligger utenfor linjestykket. Forholdet mellom dets avstander til referansepunktene er det samme, men med motsatt fortegn. Det er derfor gitt som

S'={m_{1}X_{1}-m_{2}X_{2} \over m_{1}-m_{2}}

Midtpunktet (1:1) mellom referansepunktene er derfor harmonisk konjugert med punket (1:-1) = (-1:1) i det uendelige.

Koordinater i planet

Barysentriske koordinater har flest anvendelser i det todimensjonale planet. Det er da hensiktsmessig å betegne dem som (u: v: w) istedenfor (m₁: m₂: m₃). Er referansetrekanten gitt ved hjørnene X₁, X₂ og X₃, kan et vilkårlig punkt P i planet angis ved den affine sammenhengen

P=uX_{1}+vX_{2}+wX_{3}

når man benytter den vanlige normaliseringen u + v + w = 1 for punkter i den endelige delen av planet. De tre hjørnene har derfor de normaliserte koordinatene (1:0:0), (0:1:0) og (0:0:1) som er uavhengige av trekantens form. Punkt som ligger i det uendelig fjerne, har koordinater som oppfyller u + v + w = 0.

En rett linje i planet er i et kartesisk koordinatsystem beskrivet ved den lineære ligningen y = kx + y₀. Da sammenhengen mellom de kartesiske koordinatene (x, y) og de tilsvarende barysentriske også er lineær, vil den samme linjen ta formen

au+bv+cw=0

ved bruk av disse koordinatene. Her er a, b og c lineære kombinasjoner av de opprinnelige linjekoordinatene (k,y₀). De kan multipliseres med en konstant uten at linjen forandres. Derfor er a, b og c homogene linjekoordinater og skrives som [a: b: c]. Punktene i det uendelig fjerne ligger derfor på en linje med koordinater [1: 1: 1]. En vilkårlig linje med koordinater [a: b: c] vil møte denne i det uendelige punktet (b - c : c - a: a - b). Summen av disse tre koordinatene er null.

Alle punkt på en rett linje mellom X₁ og X₂ vil ha w = 0. Da vil P = uX₁ + vX₂ som viser eksplisitt at punktet P ligger på en linje mellom X₁ og X₂. Likedan vil ligningen u = 0 beskrive linjen mellom X₂ og X₃ og tilsvarende for linjen v = 0.

Linje mellom to punkt

Når man har gitt to punkt P₁ = (u₁: v₁: w₁) og P₂ = (u₂: v₂: w₂), kan da forbindes med en linje av formen au + bv + cw = 0. Da både koordinatene for P₁ og P₂ må masse inn i denne, vil linjens koordinater [a: b: c] være gitt ved tre homogene, lineære ligninger. De er en entydig løsning kun når determinanten til koeffisientene til disse tre ukjente er null. Ligningen for linjen følger derfor fra betingelsen

\det {\begin{bmatrix}u_{1}&v_{1}&w_{1}\\u_{2}&v_{2}&w_{2}\\u&v&w\end{bmatrix}}=0

Den gir (v₁w₂ - v₂w₁)u + (w₁u₂ - w₂u₁)v + (u₁v₂ - u₂v₁)w = 0 som inneholder de homogene koordinatene til linjen. For en linje mellom hjørnene X₁ = (1: 0: 0) og X₂ = (0: 1: 0) gir den igjen ligningen w = 0.

Som et annet, enkelt eksempel kan man beregne linjen som går gjennom P₁ og trekanthjørnet X₁. Den linjen blir w₁v - v₁w = 0. Tilsvarende former tar ligningene for linjer gjennom de to andre hjørnene.^[3]

Skjæringspunkt mellom to linjer

Når to linjer med koordinater [a₁: b₁: c₁] og [a₂: b₂: c₂] skjærer hverandre i den endelige delen av planet vil koordinatene til skjæringspunktet P = (u: v: w) oppfylle normaliseringen u + v + w = 1. Dets tre koordinater vil derfor være løsningen av to homogene pluss en inhomogen ligning som alle tre er lineære. De kan finnes direkte fra bruk av Cramers regel som gir

P={1 \over D}(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1}:c_{1}a_{2}-c_{2}a_{1}:a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})

hvor determinanten

D=\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\1&1&1\end{bmatrix}}

Hvis linjene er parallelle, er denne lik null og de vil møtes i samme punkt (b₁ - c₁ : c₁ - a₁: a₁ - b₁) i det uendelige. Da er a₁ = a₂ + k, b₁ = b₂ + k og c₁ = c₂ + k hvor k er en felles konstant slik at determinanten blir null.

Ligningen for en linje som går gjennom et gitt punkt og er parallell med en annen linje, kan nå finnes da den vil gå gjennom dennes punkt i det uendelige. Man kan derfor benytte ligningen for linjen mellom to gitte punkt.^[2]

Arealkoordinater

De barysentriske koordinatene i planet kan gis et geometrisk tolkning slik at de kalles arealkoordinater.^[3] Hvis de tre hjørnene i referansekantene kalles A, B og C, vil et punkt P kunne angis som

(m_{A}+m_{B}+m_{C})P=m_{A}A+m_{B}B+m_{C}C

Dette uttrykket kan omformes ved å innføre et av tyngdepunktene til en av sidekantene i trekanten. Hvis man for eksempel velger punktet L på siden motsatt hjørnet A, er dette definert ved

(m_{B}+m_{C})L=m_{B}B+m_{C}C

Avstanden til dette tyngdepuntet fra de to hjørnene B og C er gitt ved linjestykkene BL og LC. Som i det endimensjonale tilfellet vil man da ha BL/LC = m_C/m_B. Nå kan dermed punktet P uttrykkes ved kombinasjonen

(m_{A}+m_{B}+m_{C})P=m_{A}A+(m_{B}+m_{C})L

som viser eksplisitt at P ligger på den rette linjen mellom A og L.

De to trekantene PBL og PLC har forskjellige grunnlinjer BL og LC, men samme høyde. Betegner man arealene til disse trekantene på samme måte, har man derfor

{PBL \over PLC}={BL \over LC}={m_{C} \over m_{B}}

Av samme grunn vil dette også være forholdet mellom arealene ABL og ALC. Dermed er også

{m_{C} \over m_{B}}={ABL \over ALC}={ABL-PBL \over ALC-PLC}={PAB \over PAC}

Her er PAB arealet av trekanten bestående av siden i trekanten motsatt av punktet C og med tredje hjørne i det felles tyngdepunkt P. Likedan består trekanten PAC av dette punktet og siden motsatt hjørne B.

Tilsvarende relasjoner kan finnes for forholdene m_B/m_A og m_A/m_C uttrykt ved de tilhørende arealene til de tre trekantene med felles hjørne i punktet P. Disse tre arealene kan derfor likså godt brukes som barysentriske koordinater. De normaliseres ved å dividere dem med arealet til hele referansetrekanten.

Trilineære koordinater

Sannsynligvis uavhengig av Möbius viste Julius Plücker i 1829 at man kan definere tre lignende, trilineære koordinater for punkter i planet basert på tre linjer som skjærer hverandre. Disse koordinatene er definert ved avstandene som punktet har til de tre linjene. De kan ta både positive og negative verdier avhengig av på hvilken side av linjene punktet ligger når linjene har definerte retninger.

De tre gitte koordinatlinjene definerer en trekant ABC hvor de motstående sidene kan betegnes med a, b og c. Et punkt P i trekanten har da tilsvarende høyder a' , b' og c' på disse sidene som dermed utgjør de trilineære koordinatene til punktet i dette tilfellet. Da de kan multipliseres med en vilkårlige konstant som tilsvarer arealet til trekanten, er de derfor også homogene koordinater. Dette gjorde Plücker god bruk av og etablerte på den måten grunnlaget for en analytisk fremstilling av projektiv geometri.^[5]

Disse koordinatene til Plücker er direkte forbundet med de barysentriske koordinatene til Möbius. For et punkt P i trekanten har man for disse at for eksempel

{m_{C} \over m_{B}}={PAB \over PAC}={cc' \over bb'}

og tilsvarende for de andre koordinatene. Derfor vil dette punktet med de trilineære koordinatene a' , b' og c' ha barysentriske koordinater gitt ved sammenhengene

(m_{A}:m_{B}:m_{C})=(aa':bb':cc')

For en trekant med gitte sider kan man derfor fritt skifte mellom disse to koordinatsystemene.

Referanser

^ A.F. Möbius, Der barycentrische Calcul, Verlag von Johann Ambrosius Barth, Leipzig (1827).
^ ^a ^b ^c H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry, John Wiley & Sons, New York (1969). ISBN 0-4711-8283-4.
^ ^a ^b ^c D. Pedoe, Geometry: A Comprehensive Course, Dover Publications, New York (2013). ISBN 1-306-340551.
^ J. N. Cederberg, A Course in Modern Geometries, Springer-Verlag, Berlin (2001). ISBN 0-387-98972-2.
^ J. Plücker, Ueber ein neues Coordinatensystem, Journal für die reine und angewandte Mathematik 5, 1-26 (1829).

Eksterne lenker

E.W. Weisstein, Barycentric Coordinates, Wolfram MathWorld.
Cut the Knot, Barycentric coordinates
P. Yiu, Introduction to the Geometry of the Triangle Arkivert 24. oktober 2020 hos Wayback Machine., Florida Atlantic University (2013).
P. Pamfilos, Barycentrics

[Möbius-1] A.F. Möbius, Der barycentrische Calcul, Verlag von Johann Ambrosius Barth, Leipzig (1827).

[Coxeter-2] H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry, John Wiley & Sons, New York (1969). ISBN 0-4711-8283-4.

[Pedoe-3] D. Pedoe, Geometry: A Comprehensive Course, Dover Publications, New York (2013). ISBN 1-306-340551.

[Cederberg-4] J. N. Cederberg, A Course in Modern Geometries, Springer-Verlag, Berlin (2001). ISBN 0-387-98972-2.

[PLücker-1-5] J. Plücker, Ueber ein neues Coordinatensystem, Journal für die reine und angewandte Mathematik 5, 1-26 (1829).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]